Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực - Toán lớp 12

Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực

Tài liệu Lý thuyết Phương trình bậc hai với hệ số thực Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Phương trình bậc hai với hệ số thực từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức w. Mỗi số phức z thỏa mãn z² = w được gọi là một căn bậc hai của w .

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

    Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a, b, c ∈ R; a ≠ 0). Xét Δ = b² - 4ac, ta có

    • Δ = 0: phương trình có nghiệm thực x = -b/2a .

    • Δ > 0 : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: .

    • Δ < 0 : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: .

    ** Chú ý.

    - Mọi phương trình bậc n: A₀zⁿ + A₁z^n-1 + ... + A_n-1z + A_n = 0 luôn có n nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

    - Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂ (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

    • Trường hợp w là số thực: Nếu a là một số thực

        + a < 0, a có các căn bậc hai là ±i√|a| .

        + a = 0, a có đúng một căn bậc hai là 0.

        + a > 0 , a có hai căn bậc hai là ±√a.

Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là i và -i. Hai căn bậc hai của -a² (a là số thực khác 0) là ai và -ai.

    • Trường hợp w = a + bi (a,b ∈ R, b ≠ 0)

    Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của w khi và chỉ khi z² = w, tức là

    (x + yi)² = a + bi ⇔ x² - y² + 2xyi = a +bi ⇔

    Mỗi cặp số thực (x; y) nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai x + yi của số phức w = a + bi.

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của w = -5 + 12i.

Hướng dẫn:

    Gọi z = x + yi (x, y ∈ R) là một căn bậc hai của số phức w = -5 _ 12i.

    Ta có z² = w ⇔ (x + yi)² = -5 + 12i ⇔

    Vậy w = -5 + 12i có hai căn bậc hai là 2 + 3i và -2 - 3i.

2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

    • Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau: z² - z + 1 = 0

Hướng dẫn:

    Ta có ± = b² -4ac = -3 < 0

    Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là .

    • Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

    Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

    – Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

        + Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm x = 1.

        + Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm x = -1.

    Định lý Bơdu:

    Phần dư trong phép chia đa thức f(x) cho x - a bằng giá trị của đa thức f(x) tại x = a

    Tức là f(x) = (x - a)g(x) - f(a)

    Hệ quả: Nếu f(a) = 0 thì f(x)⋮ (x - a)

    Nếu f(x)⋮(x - a) thì f(a) = 0 hay f(x) = 0 có một nghiệm x = a

    – Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

    Với đa thức f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ chia cho x - a có thương là g(x) = b_n-1x^n-1 + b_n-2x^n-2 + ... + b₁x + b₀ dư r

    – Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

    Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

    – Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

    – Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

    – Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

    – Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

B. Kĩ năng sử dụng máy tính bỏ túi

    1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.

    Nhập số thuần ảo i: Phím ENG

    2. Tìm các căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức z = -3-4i có kết quả:

Hướng dẫn:

    Cách 1:

    – Mode 2 (CMPLX)

    – Nhập hàm X²

    – Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng z thì ta nhận.

    Cách 2:

    – Mode 1 (COMP)

    – Nhấn Shift + (Pol), ta nhập Pol(-3;4)

    – Nhấn Shift – (Rec), ta nhập Rec(√X,Y:2), ta thu được kết quả X = 1; Y = 2.

    – Vậy 2 số phức cần tìm là 1 + 2i và -1 - 2i.