Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều cực hay - Toán lớp 12

Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều cực hay

Với Phương pháp tính thể tích khối lăng trụ đều cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính thể tích khối lăng trụ đều từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

1. Phương pháp giải

+ Khối lăng trụ đều là khối lăng trụ có đáy là tam giác đều.

+ Tính diện tích đáy, chiều cao hình lăng trụ.

+ Tính thể tích khối lăng trụ.

+ Chú ý: Diện tích tam giác đều cạnh a là

Diện tích hình vuông cạnh a: S= a².

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng .Thể tích khối tứ diện AC’A’B’ là

Hướng dẫn giải

+ Gọi M là trung điểm của AB.

Vì tam giác ABC là tam giác đều nên CM⊥AB

=> CM = d( C, (AA’B’)

+ Thể tích khối tứ diện AC’A’B’ là:

Chọn A.

Ví dụ 2.Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này.

A. 8a³

B. 9a³

C. 18a³

D. 21a³

Hướng dẫn giải

Do ABCD.A’B’C’D’ là lăng trụ đứng nên DD'⊥BD

Xét tam giác vuông DD’B có:

Vì ABCD là hình vuông nên

Suy ra diện tích đáy là:

Vậy thể tích của khối lăng tụ đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ 3. Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a và mặt phẳng ( BDC’) hợp với đáy (ABCD) một góc 60^o. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có ABCD là hình vuông nên OC⊥BD

Lại có:CC'⊥(ABCD)

Suy ra:OC'⊥BD( định lí 3 đường vuông góc)

Do đó, góc giữa mp (BDC’) với đáy là góc

Tam giác ABC vuông tại B, AB=BC=a nên:

Xét tam giác OCC’ vuông tại C nên

Đáy ABCD là hình vuông cạnh a nên S_ABCD= a²

Thể tích của khối hộp chữ nhật đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ 4. Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau xuất phát từ một đỉnh là α . Tính thể tích của lăng trụ theo h và α là

Hướng dẫn giải

Gọi x là độ dài cạnh của đáy của hình lăng trụ

Ta có:

*Theo giả thiết, góc giữa hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau xuất phát từ một đỉnh là α nên

* Áp dụng định lí co-sin vào tam giác AB’D’ ta có:

Diện tích của hình vuông ABCD là: S_ABCD= x²

Khi đó, thể tích của lăng trụ đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ 5. Tính thể tích lăng trụ đều ABC. A’B’C’, biết (ABC’) hợp với đáy góc 60^o và diện tích tam giác ABC’ bằng

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB

*Do tam giác ABC là tam giác đều nên CH⊥AB

Tương tự, tam giác C’AB là tam giác cân nên C'H⊥AB

* Mà 2 mặt phẳng ( ABC’) và ( ABC) cắt nhau theo giao tuyến AB nên góc giữa hai mặt phẳng ( ABC’) và (ABC) là góc

* Do diện tích tam giác ABC’ là nên:

*Xét tam giác HCC’ vuông tại C:

Vậy (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

* Lại có:

Diện tích tam giác ABC là :

* Thể tích của khối lăng trụ đã cho là

Chọn C.