(S) x^2 +y^2 + x^2 -2ax - 2by - 2cz + d = 0 là phương trình của mặt cầu khi và chỉ khi:

Cho đường tròn (C)  đường kính AB  và đường thẳng $\Delta$. Để hình tròn xoay sinh bởi (C)  khi quay quanh $\Delta$ là một mặt cầu thì cần có thêm điều kiện nào sau đây:

(I) Đường kính AB thuộc $\Delta$.

(II) $\Delta$ cố định và đường kính AB thuộc $\Delta$.

(III) $\Delta$ cố định và hai điểm A, B cố định trên $\Delta$.

Cho mặt cầu (S) tâm O, bán kính R và mặt phẳng (P) có khoảng cách đến O bằng R. Một điểm M tùy ý thuộc (S). Đường thẳng OM cắt (P) tại N. Hình chiếu của O trên (P) là I. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một tiếp tuyến tiếp xúc với (S) tại B. Khi đó độ dài đoạn AB bằng:

Cho mặt cầu S(O;R) và một điểm A, biết OA = 2R. Qua A kẻ một cát tuyến cắt (S) tại B và C sao cho $BC=R\sqrt{3}$. Khi đó khoảng cách từ O đến BC bằng:

Điều kiện để $\left(S\right):x^2+y^2+z^2+Ax+By+Cz+D=0$ là một mặt cầu là:

Cho hai mặt cầu (S) và (S’) lần lượt có tâm I và J, bán kính R và R’. Đặt d = IJ. Câu nào sau đây sai?

I. $d>\left|R-R\text{'}\right|\Rightarrow \left(S\right)$ và (S') trong nhau

II. $0<d<R+R\text{'}\Rightarrow \left(S\right)$ và (S') ngoài nhau

III. $d=\left|R-R\text{'}\right|\Rightarrow \left(S\right)$ và (S') tiếp xúc ngoài

IV. $d=R+R\text{'}\Rightarrow \left(S\right)$ và (S') tiếp xúc trong

Hai mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ và $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2a\text{'}x-2b\text{'}y-2c\text{'}z+d\text{'}=0$, cắt nhau theo đường tròn có phương trình :

Cho mặt cầu $\left(S\right):x^2+y^2+z^2-2ax-2by-2cz+d=0$ và mặt phẳng $\left(P\right):Ax+By+Cz+D=0$

I. $\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|-\sqrt{\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-d\right)}}{A^2+B^2+C^2}>0\Rightarrow \left(P\right)$ cắt (S)

II. $\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|-\sqrt{\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-d\right)}}{A^2+B^2+C^2}=0\Rightarrow \left(P\right)$ tiếp xúc (S)

III. $\frac{\left|Aa+Bb+Cc+D\right|-\sqrt{\left(A^2+B^2+C^2\right)\left(a^2+b^2+c^2-d\right)}}{A^2+B^2+C^2}<0\Rightarrow \left(P\right)$ không cắt (S)