Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip cực hay - Toán lớp 12

Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip cực hay

Với Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường eclip từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Phương pháp giải

+ Trong mặt phẳng, cho hai điểm cố định F₁;F₂, với F₁F₂ = 2c (c > 0). Đường Elip là tập hợp các điểm M sao cho trong đó a là số cho trước lớn hơn c.

Hai điểm F₁;F₂, được gọi là tiêu điểm của Elip. Khoảng cách 2c được gọi là tiêu cự của Elip.

+ Phương trình chính tắc của Elíp có tiêu điểm F₁ (c;0);F₂ (-c;0) :

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:Cho số phức z thỏa mãn |z - 4| + |z + 4| = 10 . Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của mô – đun của số phức z là

A.10 và 4        B. 5 và 4        C. 4 và 3        D. 5 và 3.

Hướng dẫn:

Giải theo tự luận

Cách 1: Giả sử z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x ;y) . Giả sử F₁ (4;0); F₂ (0;-4) khi đó tập hợp các điểm M thỏa mãn là MF₁ + MF₂ = 10 là đường elip có các tiêu điểm là F₁;F₂, và trục lớn bằng 10.

Từ đó ta tìm được 2c = F₁F₂ = 8 <=> c = 4 .

2a = 10 nên a = 5

suy ra b² = a² - c² = 25 - 16 - 9 => b = 3 .

Từ đó

Vì M di động trên (E) nên z = |OM| lớn nhất, nhỏ nhất khi OM lần lượt là độ dài nửa bán trục lớn, nửa bán trục nhỏ. Hay max |z| = 5 ; min|z| = 3 .

Chọn D.

Cách 2: Áp dụng bất đẳng thức “tam giác” dạng |A| + |B| ≥ |A+B| suy ra

10 = |z - 4| + |z + 4| ≥ |(z - 4) + (z + 4)| = |2z| = 2|z| > |z| ≤ 5. Vậy |z| = 5 .

Dấu bằng diễn ra khi và chỉ khi

Ví dụ 2: Gọi (H) là hình biểu diễn tập hợp các số phức z trong mặt phẳng tọa đọ Oxy để số phức z có phần thực không âm. Tính diện tích hình (H).

Hướng dẫn:

Giả sử z = a + bi, khi đó , giả thiết của bài toán là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức z là điểm M(a; b) thuộc miền trong của elip (kể cả các điểm trên biên).

+ Bán trục lớn của (E) là a = 3, bán trục bé của (E) là b = 1 nên diện tích cần tính của miền (H) là S = πab = 3π .

Chọn A.

Ví dụ 3:Trong mặt phẳng phức Oxy, tâp hợp các điểm biểu diễn số phức z sao cho z² là số thuần ảo là hai đường thẳng d₁;d₂ . Góc giữa 2 đường thẳng d₁;d₂ là bao nhiêu?

A.α = 45^o . B.α = 60^o . C.α = 90^o . D.α = 30^o .

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có: z² = (x² - y²) + 2xyi là số thuần ảo =>

x² - y² = 0 ∧ xy ≠ 0 => y = ± x => α = 90^o

Chọn C.

Ví dụ 4: Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2| + |z - 2| = 5 trên mặt phẳng tọa độ là một

A. đường thẳng.        B. đường tròn.        C. elip.        D. hypebol.

Hướng dẫn:

Trên mặt phẳng tọa độ Oxy , gọi M(x; y) biểu diễn số phức z = x + yi.

Đặt F₁ (-2;0);F₂ (2;0) khi đó (1) <=> MF₁ + MF₂ = 5 ;

suy ra M nằm trên Elip có hai tiêu điểm là F₁;F₂ và bán kính trục lớn là .

Phương trình của elip đó là

Chọn C.

Ví dụ 5: Trên mặt phẳng tọa độ , tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức |z - 2| + |z + 2| = 10 thỏa mãn điều kiện .

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi,x;y ∈ R .

Gọi A là điểm biểu diễn số phức 2

Gọi B là điểm biểu diễn số phức -2

Ta có:|z - 2| + |z + 2| = 10 <=> MA + MB = 10 .

Ta có AB = 4.

Suy ra tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là Elip với 2 tiêu điểm là A(2; 0), B( -2; 0) tiêu cự AB = 4 = 2c, độ dài trục lớn là 10 = 2a , độ dài trục bé là

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện |z - 2| + |z + 2| = 10 là elip có phương trình

Chọn D

Ví dụ 6:Cho số phức z thỏa mãn |z - 2| + |z + 2| = 8 . Trong mặt phẳng phức tập hợp những điểm M biểu diễn cho số phức z là?

Hướng dẫn:

Gọi M(x,y), F₁(-2;0) , F₂(-2;0)

Ta có :

Do đó điểm M(x; y) nằm trên elip (E ) có 2a = 8 nên a=4

Ta có F₁F₂ = 2c <=> 4 = 2c <=> c = 2 .

Ta có b² = a² - c² = 16 - 4 = 12

Vậy tập hợp các điểm M là elip

Chọn A.

Ví dụ 7:Tập hợp các điểm trong mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức thoả mãn điều kiện: là hình gì?

A. Một đường thẳng.        B. Một đường Parabol.

C. Một đường Elip.        D. Một đường tròn.

Hướng dẫn:

Theo giả thiết

<=> a² + (b - 1)² = (b + 1)²

<=> a² = 4b

Quỹ tích các số phức z là một đường Parabol.

Chọn B.

Ví dụ 8:Cho số phức z = m - 2 + (m² - 1)i với m ∈ R . Gọi (C) là tập hợp các điểm biểu diễn số phức z trong mặt phẳng tọa độ. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và Ox.

Hướng dẫn:

Gọi M(x;y) là điểm biểu diễn số phức z.

Chọn B.

Ví dụ 9: Gọi M là điểm biểu diễn của số phức z thỏa mãn . Tập hợp tất cả những điểm M như vậy là

A. một parabol.        B. một đường thẳng.        C. một đường tròn.        D. một elip.

Hướng dẫn:

Gọi số phức z = x + yi có điểm biểu diễn là M(x;y) trên mặt phẳng tọa độ:

Theo đề bài ta có:

Vậy tập hợp các điểm M(x;y) biểu diễn số phức z theo yêu cầu của đề bài là parabol .

Chọn A.

Ví dụ 10: Xác định tập hợp các điểm M trong mặt phẳng phức biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện

A. Là đường Hyperbol.

B. Là đường Hyperbol.

C. Là đường tròn tâm 0 bán kính R = 4.

D. Là hai đường Hyperbol

Hướng dẫn:

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi

Ta có:

Chọn D