Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1) - Toán lớp 12

Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1)

Với Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức (Dạng 1) Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giá trị nhỏ nhất, lớn nhất của số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Cho số phức z thỏa mãn |z - (a + bi)| = c, (c > 0), tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của P với P = |z + z₃| + |z + z₄| hoặc P chứa z², z³ (sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ)

1. Phương pháp

Cách 1: PP lượng giác hóa

Vì tọa độ điểm biểu diễn là đường tròn nên đưa về dạng X² + Y² = 1

(Có thể sử dụng trong trường hợp tọa độ điểm biểu diễn là elip)

Đặt X = cosa; Y = sina

Khi đó P biểu diễn theo cosa và sina

Sử dụng MODE 7 khảo sát với START = 0; END = 2; STEP =

(Chú ý dùng lệnh Shift Mode 5 - 1)

Cách 2: Sử dụng pp BĐT

BĐT Bunhia Copski: (Ax + By)² ≤ (A² + B²)(x² + y²) tìm max

BĐT Mincopxki:

Dấu = xảy ra khi

BĐT vecto:

Dấu = xảy ra khi

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn |z - 1| = √2. Tìm GTLN của T = |z + i| + |z - 2 - i|

Hướng dẫn:

Ta có:

Cộng (1) với (2) ta được:

|z + i|² + |z - 2 - i|² = 2|z - 1|² + 4 = 8 (không đổi)

Áp dụng đẳng thức bunhia xcopki:

T² = (|z + i| + |z - 2 - i|)² ≤ 2(|z + i|² + |z - 2 - i|²) = 16 => T ≤ 4

Ví dụ 2: Với 2 số phức z₁, z₂ thỏa mãn z₁ + z₂ = 8 + 6i và |z₁ - z₂| = 2. Tính GTLN của P = |z₁| + |z₂|

A. 5 + 3√5    B. 2√26    C. 4√6    D. 34 + 3√2

Hướng dẫn:

CÁCH 1: Ta có:

|z₁ + z₂|² + |z₁ - z₂|² = 2(|z₁|² + |z₂|²) ⇔ 100 + 4 = 2(|z₁|² + |z₂|²) ⇔ 52 = (|z₁|² + |z₂|²)

Lại có: Áp dụng BĐT Cauchy:

CÁCH 2:

Ta có:

ÁP dụng BĐT Bunhia Copski:

(Ax + By)² ≤ (A² + B²)(x² + y²)

=> (|z₁| + |z₂|)² ≤ 2(|z₁|² + |z₂|²) = |z₁| + |z₂|² + |z₁| - |z₂|² = 104

=> |z₁| + |z₂| ≤ 2√26

Ví dụ 3: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi, thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z₀ = 1 - i. Tìm điểm M thuộc (C) sao cho MN có độ dài lớn nhất.

Hướng dẫn:

Ta có M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)² + y² = 1 tâm I(1;0)

Do N(1; -1) nằm trên đường tròn nên MN có độ dài lớn nhất khi MN là đường kính, hay I(1;0) là trung điểm của MN.

Vậy M(1; 1)

Chọn A.

Ví dụ 4: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn :

Tính tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức |z₁ - z₂| .

A. 18     B. 6√2     C. 6     D. 3√2

Hướng dẫn:

Ta có:

|z₁ - z₂| = |(z₁ + 3 - 4i) - (z₂ + 6 - i) + (3 + 3i) ≤ |z₁ + 2 - 4i| + |z₂ + 6 - i| + |3 + 3i| = 3 + 3√2| = max

và |z₁ - z₂| = |(z₁ + 3 - 4i) - (z₂ + 6 - i) + (3 + 3i) ≥ |3 + 3i| - |z₁ + 2 - 4i| - |z₂ + 6 - i| = 3√2 - 3 = min

Do đó tổng Giá trị lớn nhất và Giá trị nhỏ nhất là 6√2

Chọn đáp án là B.

Ví dụ 5: Gọi (C) là tập hợp các điểm trên mặt phẳng biểu diễn số phức z = x - 1 + yi thỏa mãn |z| = 1 và N là điểm biểu diễn số phức z₀ = 5 + 3i. M là một điểm thuộc (C) sao cho MN có độ dài bé nhất. Khi đó độ dài MN bé nhất bằng

A. 6     B. √34     C. 3√5    D. 4

Hướng dẫn:

Ta có: M(x; y) nằm trên đường tròn (C): (x - 1)² + y² = 1 có tâm I(1; 0) và bán kính R = 4

Do N(5, 3) nằm ngoài (C) nên MN có độ dài bé nhất khi và chỉ khi:

MN = NI - R = 5 - 1 = 4.