Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) và mặt phẳng (P)

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) và mặt phẳng (P) có phương trình 2x-y+z+1=0. Gọi I (a;b;c) là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho |IA - IB| đạt giá trị lớn nhất. Khi đó tổng a+b+c bằng:

A. -4 

B. 22 

C. 13. 

D. -13.

Trả lời:

Chọn A

Thay tọa độ hai điểm A (3;1;0), B (-9;4;9) vào vế trái phương trình mặt phẳng (P), ta có

2. 3-1+0+1=6 > 0 và 2. (-9)-4+9+1 = -12 < 0.

Nên suy ra, hai điểm A, B nằm khác phía với mặt phẳng (P).

Gọi A'  là điểm đối xứng với điểm A qua mặt phẳng (P). Khi đó: 

+) Phương trình đường thẳng AA' nhận VTPT của mặt phẳng (P) là VTCP và đi qua điểm A(3;1;0) là:

$\left\{\begin{array}{l}x=3+2t\\ y=1-t\\ z=t\end{array}\right.$

+) Gọi H(3+2t;1-t;t) là giao điểm của AA' và mặt phẳng (P). Khi đó tọa độ điểm H thỏa mãn:

2(3+2t) - (1-t) + t +1 =0

$$\begin{gathered} \iff 6+6t=0 \\ \iff t=-1 \\ \Rightarrow H\left(1; 2; -1\right) \end{gathered}$$

+) Vì H là trung điểm của AA' nên$\Rightarrow A\text{'}(-1; 3; -2)$

+) Xét $∆IA\text{'}B$ ta có: (bất đẳng thức trong tam giác)

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A', B, I thẳng hàng và I nằm ngoài đoạn A'B. Suy ra I là giao điểm của đường thẳng A'B và mặt phẳng (P).

Ta có , nên suy ra phương trình đường thẳng A'B là .

Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ phương trình

Vậy I (7;2;13) nên a+b+c=7+2+ (-13)=-4.