Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} + {(z - 3)}^{2} = \frac{14}{3}$ và đường thẳng d có phương trình $\frac{x - 4}{3} = \frac{y - 4}{2} = \frac{z - 4}{2}$ . Gọi $A (x_{0}; y_{0}; z_{0}), x_{0} > 0$ là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm $B, C, D$ sao cho ABCD là tứ diện đều.

Giá trị của biểu thức $P = x_{0} + y_{0} + z_{0}$ là

A. 6.

B. 16.

C. 12.

D. 8.

Trả lời:

Media VietJack

Gọi I là tâm mặt cầu thì $I (1; 2; 3)$ .

Gọi O là giao điểm của mặt phẳng $(B C D)$ và đoạn AI.

Vì theo giả thiết $A B = A C = A D$ và $I B = I C = I D = \sqrt{\frac{14}{3}}$ nên AI vuông góc với mặt phẳng $(B C D)$ tại O. Khi đó O là tâm đường tròn ngoại tiếp $Δ B C D$ .

Đặt $A I = x (x > \sqrt{\frac{14}{3}})$ .

Ta có $A B = \sqrt{A I^{2} - I B^{2}} = \sqrt{x^{2} - \frac{14}{3}}$

$I B^{2} = I O . I A \Rightarrow O I = \frac{14}{3 x} \Rightarrow O B = \sqrt{I B^{2} - I O^{2}} = \sqrt{\frac{14}{3} - {(\frac{14}{3 x})}^{2}} \Rightarrow B D^{2} = O B^{2} + O D^{2} - 2 O B . O D . \cos 120 ° = 3 O B^{2} \Rightarrow B D = \sqrt{3} O B \Rightarrow B D = \sqrt{3} O B = \sqrt{3. (\frac{14}{3} - \frac{196}{9 x^{2}})}$

Do ABCD là tứ diện đều nên

$A B = B D \Rightarrow \sqrt{x^{2} - \frac{14}{3}} = \sqrt{3 (\frac{14}{3} - \frac{196}{9 x^{2}})} \Leftrightarrow x^{2} - \frac{14}{3} = 14 - \frac{196}{3 x^{2}} 3 x^{4} - 56 x^{2} + 196 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x^{2} = \frac{14}{3} \\ x^{2} = 14 \end{array} \Rightarrow x = \sqrt{14}$

$A \in d$ nên $A (4 + 3 t; 4 + 2 t; 4 + t)$ .

Suy ra $A I = \sqrt{14} \Leftrightarrow \sqrt{{(4 + 3 t - 1)}^{2} + {(4 + 2 t - 2)}^{2} + {(4 + t - 3)}^{2}} = \sqrt{14}$

$\Leftrightarrow |t + 1| = 1 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} t = 0 \\ t = - 2 \end{array} \Rightarrow [\begin{array}{l} A (4; 4; 4) \\ A (- 2; 0; 2) \end{array}$

Do $x_{0} > 0$ nên điểm A có tọa độ $A (4; 4; 4)$ .

Suy ra $P = 12$ .

Chọn C.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 5}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z - 6 = 0$ .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem lời giải »

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : x + m y + (m^{2} - 1) z - 7 = 0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z - 5 = 0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem lời giải »

Câu 4:

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d : \frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 5 y - z - 2 = 0$ là

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $O x, O y, O z$ (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} = \frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $(S)$ cố định. Đường thẳng $(d)$ thay đổi nhưng luôn đi qua $M (\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$ và cắt $(S)$ tại hai điểm $A, B$ phân biệt. Diện tích lớn nhất của $Δ A O B$ là

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d đi qua điểm M và nhận vectơ $\vec{a}$ làm vectơ chỉ phương và đường thẳng d' đi qua điểm M' và nhận vectơ $\vec{a^{'}}$ làm vectơ chỉ phương. Điều kiện để đường thẳng d song song với đường thẳng d' là

Xem lời giải »

Câu 7:

Cho đường thẳng

d : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{1}

và điểm

A (1; 2; 1)

. Tìm bán kính của mặt cầu có tâm I nằm trên d, đi qua A và tiếp xúc với mặt phẳng

(P) : x - 2 y + 2 z + 1 = 0

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{3} = \frac{y - 2}{- 2} = \frac{z - 2}{2}$ . Phương trình mặt cầu tâm $I (1; 2; - 1)$ cắt d tại các điểm A,B sao cho $A B = 2 \sqrt{3}$ là

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: