Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2(m^2+m+2)x

Câu hỏi:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng $(P) : 2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0$

luôn chứa đường thẳng $∆$ cố định khi m thay đổi. Khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là?

A. $\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

\frac{2}{\sqrt{3}}

\frac{\sqrt{2}}{3}

\frac{2}{3}

Trả lời:

Ta có: $2 (m^{2} + m + 2) x + (m^{2} - 1) y + (m + 2) z + m^{2} + m + 1 = 0, \forall m \in ℝ$

$\Leftrightarrow m^{2} (2 x + y + 1) + m (2 x + z + 1) + 4 x - y + 2 z + 1 = 0, \forall m \in ℝ \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + z + 1 = 0 \\ 4 x - y + 2 z + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} 2 x + y + 1 = 0 \\ 2 x + z + 1 = 0 \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} y = z \\ 2 x + y + 1 = 0 \end{cases}$

Vậy $(P)$ luôn chứa đường thẳng $(Δ)$ cố định: $\{\begin{cases} x = - \frac{t}{2} - \frac{1}{2} \\ y = t \\ z = t \end{cases}$

Đường thẳng $∆$ đi qua $A (- \frac{1}{2}; 0; 0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{Δ}} = (- \frac{1}{2}; 1; 1)$ .

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến $∆$ là: $d (O; Δ) = \frac{|[\vec{O A}, \vec{u_{Δ}}]|}{|\vec{u_{Δ}}|} = \frac{\sqrt{2}}{3}$ .

Chọn C.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x + 1}{1} = \frac{y}{- 3} = \frac{z - 5}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x - 3 y + 2 z - 6 = 0$ .

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Xem lời giải »

Câu 2:

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d : \frac{x - 2}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 1}{- 1}$ và mặt phẳng $(P) : x + m y + (m^{2} - 1) z - 7 = 0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Xem lời giải »

Câu 3:

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{1}$ và mặt phẳng $(α) : x - y + 2 z - 5 = 0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Xem lời giải »

Câu 4:

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d : \frac{x - 12}{4} = \frac{y - 9}{3} = \frac{z - 1}{1}$ và mặt phẳng $(P) : 3 x + 5 y - z - 2 = 0$ là

Xem lời giải »

Câu 5:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d_{1} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z - 2}{1}$ và $d_{2} : \frac{x + 3}{4} = \frac{y + 9}{8} = \frac{z + 2}{m^{2}} (m \neq 0)$

Tập hợp các giá trị m thỏa mãn $d_{1} // d_{2}$ có số phần tử là:

Xem lời giải »

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 - 2 t^{'} \\ y = - 2 + t^{'} \\ z = 1 + 3 t^{'} \end{cases}$

Tìm tọa độ giao điểm M của d và d'.

Xem lời giải »

Câu 7:

Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{2} = \frac{z}{3}, Δ_{2} : \frac{x - 3}{- 1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z + 2}{1}$

Xem lời giải »

Câu 8:

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,0,-2) và đường thẳng $∆$ có phương trình là $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z + 3}{2}$ .

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt $∆$ tại hai điểm A và B sao cho $B C = 8$ là

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P):2(m^2+m+2)x

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: