Trong không gian tọa độ Oxyz, xét vị trí tương đối của hai đường thẳng 

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x+1}{1}=\frac{y}{-3}=\frac{z-5}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x-3y+2z-6=0$.

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng có phương trình $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z-1}{-1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):x+my+\left(m^2-1\right)z-7=0$ với m là tham số thực. Tìm m sao cho đường thẳng d song song với mặt phẳng (P).

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-3}{1}$  và mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-y+2z-5=0$ , mệnh đề nào dưới đây là đúng?

Tọa độ giao điểm M của đường thẳng $d:\frac{x-12}{4}=\frac{y-9}{3}=\frac{z-1}{1}$  và mặt phẳng $\left(P\right):3x+5y-z-2=0$  là

Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0,0,-2) và đường thẳng $∆$ có phương trình là $\frac{x+2}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+3}{2}$ .

Phương trình mặt cầu tâm A, cắt $∆$ tại hai điểm A và B sao cho $BC=8$  là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu $\left(S\right):{\left(x-1\right)}^2+{\left(y+1\right)}^2+{\left(z-2\right)}^2=9$  và điểm $M\left(1;3;-1\right)$ . Biết rằng các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M tới mặt cầu đã cho luôn thuộc một đường tròn $\left(C\right)$  có tâm $J\left(a;b;c\right)$ .

Giá trị $2a+b+c$  bằng

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+{\left(z-3\right)}^2=\frac{14}{3}$  và đường thẳng d có phương trình $\frac{x-4}{3}=\frac{y-4}{2}=\frac{z-4}{2}$ . Gọi $A\left(x_0;y_0;z_0\right),x_0>0$ là điểm nằm trên đường thẳng d sao cho từ A kẻ được ba tiếp tuyến đến mặt cầu (S) có các tiếp điểm $B,C,D$  sao cho ABCD là tứ diện đều.

Giá trị của biểu thức $P=x_0+y_0+z_0$  là

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm P,Q,R lần lượt di động trên ba trục tọa độ $Ox,Oy,Oz$  (không trùng với gốc tọa độ O) sao cho $\frac{1}{O{P}^2}+\frac{1}{O{Q}^2}+\frac{1}{O{R}^2}=\frac{1}{8}$ . Biết mặt phẳng $\left(PQR\right)$  luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)$  cố định. Đường thẳng $\left(d\right)$  thay đổi nhưng luôn đi qua $M\left(\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2};0\right)$  và cắt $\left(S\right)$  tại hai điểm $A,B$  phân biệt. Diện tích lớn nhất của $\Delta AOB$  là