Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng - Toán lớp 12

---

Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng

Với Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với 2 đường thẳng từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

+ Gọi u_d→ ; u_d1→  và  u_d2→ lần lượt là vecto chỉ phương của đườg thẳng d; d₁ và d₂

+ Do đường thẳng d vuông góc với cả hai đường thẳng d₁ và d₂ nên:

+ Mà d₁ và d₂ chéo nhau

=>Véc tơ chỉ phương của d là

Sau đó, áp dụng định nghĩa phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (2; -1; 1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ; u₂→ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

d đi qua điểm A (2; -1; 1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn A.

Ví dụ 2: Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; 3) và vuông góc với hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ; u₂→  nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

hay chọn vectơ chỉ phương là (-1; -1; 1)

Mà d đi qua điểm A (1; 2; 3) nên phương trình đường thẳng d là

Chọn C

Ví dụ 3 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho hai điểm A(1 ;-1 ;1) ; B(-1 ; 2 ; 3) và đường thẳng . Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳn AB và Δ là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: chọn vecto ( 7;2; 4)

Vậy phương trình chính tắc của d là:

Chọn B.

Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(0;2; 0) và vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d1 có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d2 có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng Δ vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Chọn C.

Ví dụ 5:= Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1;3) vuông góc với trục Oz và d là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

Đường thẳng Oz có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng Δ vuông góc với trục Oz và d nên một vecto chỉ phương của Δ là:

.

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1; 3) và có vectơ chỉ phương là ( 1; -1;0)

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn A.

Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( -1; 2; 3). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 2; 3) vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng OA?,

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Đường thẳng OA đi nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và OA nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Ví dụ 7: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A( 1; 2; 3); B( -2; 1;3); C( 0; 1; 2) và D( -1; -1; 1). Đường thẳng d đi qua M( -1; 2; -4) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD. Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a+ b?

A. 2

B. – 3

C. 1

D. - 4

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và CD nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là : .

=> a= -3 và b= 5 nên a+ b= 2

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (1; 2; -1) và vuông góc với hai đường thẳng lần lượt có vectơ chỉ phương là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ;u₂→ nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

d đi qua điểm A ( 1; 2; -1)

Vậy phương trình đường thẳng d là

Chọn A.

Câu 2:

Viết phương trình đường thẳng d đi qua A (-1; 3; 1) và vuông góc với hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Vecto chỉ phương của hai đường thẳng d1; d2 lần lượt là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có vecto chỉ phương là u₁→ ;u₂→  nên một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là

Mà d đi qua điểm A ( -1; 3; 1) nên phương trình đường thẳng d là

Chọn A

Câu 3:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz : cho hai điểm A(-2 ; 3 ; 1) ; B(0 ; 4 ; 2) và đường thẳng . Phương trình chính tắc của đường thẳng d đi qua điểm A, đồng thời vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ là

A.

B.

C.

D. Không có phương trình chính tắc

Lời giải:

Đường thẳng AB nhận vecto làm vecto chỉ phương.

Đường thẳng Δ có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng AB và Δ nên một vecto chỉ phương của đường thẳng d là: chọn vecto ( 0; 1; -1)

Suy ra đường thẳng d khong có phương trình chính tắc.

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A( -2; 1; 3) và vuông góc với hai đường thẳng d₁; d₂ là

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

Đường thẳng d₁ có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d₂ có vectơ chỉ phương

Do đường thẳng Δ vuông góc với hai đường thẳng d1 và d2 nên một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ là:

Vậy phương trình tham số của Δ là:

Chọn C.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng . Phương trình đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1;1) vuông góc với trục Ox và d là

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đường thẳng Ox có vectơ chỉ phương

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương .

Do đường thẳng Δ vuông góc với trục Ox và d nên một vecto chỉ phương của Δ là

.

Đường thẳng Δ đi qua điểm A(1;1; 1) và có vectơ chỉ phương là (0; 1; -1)

Vậy phương trình của Δ là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 2; 1); B( - 3; 4; 1) và C( 2; 1; 0). Gọi M là trung điểm của AB. Cho đường thẳng d có vecto chỉ phương . Gọi Δ là đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng d và CM. Tìm một vecto chỉ phương của đường thẳng Δ?

A. ( 1; 2; 1)

B. ( 1; -2; 1)

C. ( 2; 3; -6)

D. ( 4; 8; -4)

Lời giải:

+ Do M là trung điểm của AB nên tọa độ của M là:

+ Đường thẳng CM có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và CM nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là:

Chọn D

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( 0; 2; 4). Viết phương trình đường thẳng Δ đi qua M( 0; 1; 2) vuông góc với đường thẳng d và đường thẳng OA?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d có vecto chỉ phương

Đường thẳng OA đi nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Do đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng d và OA nên đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình đường thẳng Δ là:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(2; 0; 1); B(0;2; 0); C(2; 1; 1) và D( -1; -1; 1). Đường thẳng d đi qua M( 1;2; 0) đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng AB và CD. Phương trình tham số của đường thẳng d có dạng : . Tính a.b?

A. -10

B. 20

C. 10

D. -20

Lời giải:

+ Đường thẳng AB có vecto chỉ phương là:

+ Đường thẳng CD có vecto chỉ phương là:

+ Do đường thẳng d vuông góc với đường thẳng AB và CD nên đường thẳng d có một vecto chỉ phương là:

=> Phương trình tham số của đường thẳng d là : .

=> a= -2 và b= 10 nên a.b= -20

Chọn D.