Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l cực hay - Toán lớp 12

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l cực hay

Với Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l cho trước

Phương pháp giải

Độ dài dây cung l=AB

+ Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là:

d=d(I;(Δ))

trong đó M là điểm thuộc Δ, u→ là VTCP của ∆

+ Gọi R là bán kính của mặt cầu

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng

tại 2 điểm A, B với AB = 16

Hướng dẫn:

Chọn M (-1; 1; 0) ∈ Δ

⇒ IM→=(3;2; 1)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u→=(1; -4;1)

Ta có: [IM→ ; u→ ]=(2;4;14)

⇒ d(I,Δ)= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

Ta có:

R= 2√(19)

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x-2)²+(y-3)²+(z+1)²=76

Bài 2: Cho điểm I (0; 0; 3) và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông

Hướng dẫn:

Điểm M (-1; 0; 2) ∈d

⇒ IM→=(-1;0; -1)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u→=(1; 2;1)

Ta có: [IM→ ; u→ ]=(2;0;-2)

⇒ d(I,Δ)

+ Do tam giác IAB cân tại I nên IAB sẽ vuông cân tại I có IA=R

⇒ AB= R√2

Ta có:

R

⇒ R²=8/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

x² +y²+ (z-3)²=8/3

Bài 3: Cho điểm I (1; 0; 0) và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều:

Hướng dẫn:

Điểm M (1; 1; -2) ∈d

⇒ IM→=(0;1; -2)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u→=(1; 2;1)

Ta có: [IM→ ; u→ ]=(5;-2;-1)

⇒ d(I,Δ)

+ Tam giác IAB đều cạnh R

⇒ AB=R

Ta có:

R

⇒ R² =20/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)² +y² +z²=20/3

Bài 4: Cho điểm I (1; 1; -2) và đường thẳng Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại 2 điểm A, B sao cho IABˆ=30⁰

Hướng dẫn:

Gọi H là chân đường vuông góc của I trên AB

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có:

IH=AI.sin⁡(IABˆ)=R.sin⁡(30⁰⁾=R/2

Điểm M (-1; 3; 2) ∈d

⇒ IM→=(-2;2; 4)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u→=(1; 2;1)

Ta có: [IM→ ; u→ ]=(-6;6;-6)

⇒ d(I,Δ)

Ta có: IH = d(I,Δ)

⇒ R/2=3√2 ⇒ R=6√2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)² +(y-1)² +(z+2)²=72

Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; 6; -4) và cắt trục Oz tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6√5

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng Oz là :

Điểm O(0; 0; 0) thuộc Oz ⇒ OI→=(3;6; -4)

Một vecto chỉ phương của Oz là u→= (0; 0; 1)

⇒ [OI→ ; u→ ]=(6; -3;0)

Khoảng cách từ I đến trục Oz là:

Ta có: S_IAB=1/2 IH .AB=1/2 .3√5 .AB=6√5 ⇒ AB=4

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R²=+d²=2²+45=49

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-3)² +(y-6)² +(z+4)²=49