Xét các số phức z, w thỏa mãn |z|=2, |iw-2+5i|=1. Giá trị nhỏ nhất của |z^2 -wz -4|.

Câu hỏi:

Xét các số phức z, w thỏa mãn $\left|z\right|=2, \left|iw-2+5i\right|=1$. Giá trị nhỏ nhất của $\left|z^2-wz-4\right|$ bằng:

A. 4.

B. $2\left(\sqrt{29}-3\right)$.

C. 8.

D. $2\left(\sqrt{29}-5\right)$.

Trả lời:

Đáp án cần chọn là: C.

Theo bài ra ta có:

$\left|z\right|=2\Rightarrow$tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là đường tròn tâm $I_1\left(0;0\right)$, bán kính $R_1=2$.

Lại có: $\left|i\right|\left|w-\frac{2-5i}{i}\right|=1\iff \left|w-\left(-5-2i\right)\right|=1$

$\Rightarrow$tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn tâm $I_2\left(-5;-2\right)$ bán kính $R_2=1$.

Đặt $T=\left|z^2-wz-4\right|=\left|z^2-wz-z\overline{z}\right|=\left|z\right|\left|z-w-\overline{z}\right|=2\left|z-w-\overline{z}\right|$.

Đặt $z=a+bi(a,b\in R)\Rightarrow \overline{z}=a-bi\Rightarrow z-\overline{z}=2bi$

$\Rightarrow T=2\left|2bi-w\right|$.

Gọi M(0;2b) là điểm biểu diễn số phức 2bi, N là điểm biểu diễn số phức w.

$\Rightarrow T=2M{N}_{min}\iff M{N}_{min}$

Do $\left|z\right|=2\Rightarrow a^2+b^2=4\iff -2\le b\le 2\iff -4\le 2b\le 4$

$\Rightarrow$tập hợp các điểm M là đoạn AB với A(0; -4), B(0;4)

Dựa vào hình vẽ ta thấy $M{N}_{min}=4\iff$N(-4; -2), M(0; 2)

Vậy $T_{min}=2.4=8$.