Tìm giá trị nhỏ nhất cuae |z|, biết rằng z thỏa mãn điều kiện |((4+2i)/(1-z))*z-1|=1.

Câu hỏi:

Tìm giá trị nhỏ nhất của $\left|z\right|$, biết rằng z thỏa mãn điều kiện $\left|\frac{4+2i}{1-i}z-1\right|=1$.

A. $\sqrt{2}$.

B. 0.

C. -1.

D. $\sqrt{3}$.

Trả lời:

Đáp án cần chọn là: B.

Có: $\frac{4+2i}{1-i}=1+3i$. Đặt $z=x+yi$ thì:

$\frac{4+2i}{1-i}z-1=\left(1+3i\right)\left(x+yi\right)-1=\left(x-3y-1\right)+\left(3x+y\right)i$

Điều kiện đã cho trong bài được viết lại thành:

$$\begin{gathered} {\left(x-3y-1\right)}^2+{\left(3x+y\right)}^2=1 \\ \iff {\left(x-3y\right)}^2-2\left(x-3y\right)+1+{\left(3x+y\right)}^2=1 \\ \iff 10x^2+10y^2-2x+6y=0 \\ \iff \left(x^2-\frac{1}{5}x\right)+\left(y^2+\frac{3}{5}y\right)=0 \\ \iff {\left(x-\frac{1}{10}\right)}^2+{\left(y+\frac{3}{10}\right)}^2=\frac{1}{10}(*) \end{gathered}$$

Điểm biểu diễn $M(x;y)$ của z chạy trên đường tròn (*). Cần tìm điểm $M(x;y)$ thuộc đường tròn này để OM nhỏ nhất.

Vì đường tròn này qua O nên min OM = 0 khi $M\equiv O$ hay M (0; 0), do đó $z=0$ hay $min\left|z\right|=0$.