Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay - Toán lớp 12
Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay
Với Phương pháp giải Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của số phức từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
1. Phương pháp giải
Để giải được các bài toán này . cần nắm được các kiên thức sau:
+ Bất đẳng thức tam giác
• |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0. Dùng cho BĐT Mincopxki:
• |z1 - z2| ≤ |z1| + |z2|, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0. Dùng cho BĐT vecto
• |z1 + z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≤ 0.
• |z1 - z2| ≤ ||z1| - |z2||, dấu "=" khi z1 = kz2 với k ≥ 0.
+ Bất đẳng thức khác
BĐT Cauchy: A2 + B2 ≥
tìm min
BĐT Bunhia Copski:
(Ax + By)2 ≤ (A2 + B2)(x2 + y2) tìm max
BĐT Mincopxki: 
tìm min. Dấu = xảy ra khi 
BĐT vecto 
tìm min. Dấu = xảy ra khi
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện | z + 1- 5i| = | z− + 3 - i|, tìm số phức có môđun nhỏ nhất?
A. z = 
+ 
i
B. z = 
-
i
C. z = -
+ 
i
D. z = 
-
i
Lời giải:
Gọi số phức z = x + yi , (x,y ∈ R) ⇒ z− = x - yi
Ta có:
|z + 1 - 5i| = |z− + 3 - i| ⇔ |x + yi + 1 - 5i| = |x - yi + 3 - i|
⇔ |(x + 1) + (y - 5)i| = |(x + 3) + (-y - 1)i|
⇔ 
⇔ (x + 1)2 +( y -5)2 = ( x + 3)2 + ( y + 1)2
⇔ x2 + 2x + 1 + y2 – 10y + 25
= x2 + 6x+ 9 + y2 + 2y + 1
⇔ - 4x – 12y + 16 = 0 ⇔ x + 3y – 4 = 0
⇔ x = 4 - 3y
Ta có modun của số phức z là:
|z| = 
= 
Đẳng thức xảy ra khi y =
⇒ x = 
.
Vậy min|z| = 
khi z =
+
i.
Chọn A.
Ví dụ 2: Trong các số phức z có phần thực , phần ảo không âm và thỏa mãn:
= 1 . Tìm số phức z sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất
P = |z2 - z− 2| - (z2 - z− 2).i.[z(1 - i) + z−(1 + i)]
A. z = 
+ i
B. z = 
+ 
i
C. z =
+
i
D. z = 1 + i
Lời giải:
Điều kiện: z ≠ 1 - 2i .
Gọi số phức cần tìm là z = x + yi,(x, y ∈ R; x,y > 0)
Theo giả thiết ta có:
= 1 ⇔ |z - 3| = |z - 1 + 2i|.
⇔ |x + yi - 3| = |x + yi - 1 + 2i|
⇔ |(x - 3) + yi| = |(x - 1) + (y + 2)i|
⇔ 
⇔ (x – 3)2 + y2 = (x - 1)2 + ( y + 2)2
⇔ x2 – 6x + 9 + y2
= x2 – 2x + 1 + y2 + 4y + 4
⇔ - 4x – 4y + 4 = 0 ⇔ x + y – 1 = 0
Số phức liên hợp với số phức z là:
z− = x - yi ⇒ z2 - z− 2 = 4xy.i
⇒ |z2 -
z− 2| = 4xy (vì x, y không âm)
z(1 - i) + z−(1 + i) = 2x + 2y
Do đó,
P = 16x2y2 + 4xy.(2x+ 2y) = 16x2y2 + 8xy.
Đặt t = xy ⇒ 0 ≤ t ≤ 
= 
, ta có
P = 16t2 + 8t; t ∈ [0;
] .
+ Xét hàm số f(t) = 16t2 + 8t liên tục trên [0;
] .
f'(t) = 32t + 8t; f'(t) = 0
⇔ t = 0 ∪ t = -
(loại)
f(0) = 0; f(
) = 
⇒ 
⇔ t =
; 
= 0 ⇔ t = 0
Khi t =
⇒ xy =
Lại có; x+ y – 1= 0 nên x = y =
.
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng
khi
z =
+
i .
Chọn C.
Ví dụ 3: Biết rằng số phức z thỏa mãn:
w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i) là một số thực. Tìm giá trị nhỏ nhất của |z|?
A. √3 B. 2 C. 2√3 D. 2√2
Lời giải:
Đặt z = x + yi (x, y ), số phức liên hợp với số phức z là z− = x - yi
Ta có: w = (z + 3 - i).(z− + 1 + 3i)
⇔ w = ( x + yi + 3 - i) . ( x - yi + 1 + 3i)
⇔ w = [ (x+ 3) + (y – 1).i ].[ (x+ 1)+ ( 3- y).i ]
⇔ w = ( x+ 3).(x+ 1) + ( x + 3). (3- y).i + ( y -1). ( x+ 1)i + ( y – 1). (3- y).i2
⇔ w = x2 +4x + 3 + ( 3x - xy + 9 - 3y).i + (xy + y – x – 1).i - ( - y2 + 4y – 3)
⇔ w = ( x2 + 4x +3 + y2 – 4y + 3) + ( 3x – xy + 9 – 3y + xy + y – x – 1).i
⇔ w = (x2 + y2 + 4x - 4y + 6) + ( 2x – 2y + 8).i
Để w là một số thực khi và chỉ khi
2x - 2y + 8 = 0 hay x - y + 4 = 0
⇒ Tập hợp các điểm biểu diễn của z là đường thẳng d: x – y + 4 = 0.
M(x;y) là điểm biểu diễn của z , z có môđun nhỏ nhất khi và chỉ khi độ dài OM nhỏ nhất
Khi và chỉ khi M là hình chiếu của O trên đường thẳng d.
⇒ OM ⊥ d
* Cách 1: Đường thẳng OM có dạng:
x + y + c = 0 .
Mà điểm O(0;0) thuộc đường thẳng OM nên ta có: 0 + 0 + c = 0 ⇒ c = 0
Do đó phương trình đường thẳng OM:
x + y = 0
Khi đó, tọa độ M là nghiệm hệ phương trình :
⇒ M(-2; 2) suy ra số phức cần tìm là
z = -2 + 2i.
⇒ |z| = 
= 2√2
* Cách 2. Khi đó: |z| = d(O; d)
= 
= 2√2
Chọn D.
Ví dụ 4: Tìm số phức z có mô đun lớn nhất thỏa mãn điều kiện |z−(1 + i) - 3 + 2i| = 
A. z =
+ 
i
B. z = 
-
i
C. z = 
+ 
i
D. z = 
+ 
i
Lời giải:
Gọi số phức thỏa mãn là z = x+ yi;
(x,y ∈ R)
⇒ z− = x - yi
Theo giả thiết ta có:
|z−(1 + i) - 3 + 2i| =
⇔ |(x - yi)(1 + i) - 3 + 2i| =
⇔ ||x + xi - yi + y - 3 + 2i|| =
⇔ |(x + y - 3) + (x - y + 2).i| =
⇔ (x + y - 3)2 + (x - y + 2)2 = 
⇔ x2 + y2 + 9 + 2xy – 6x – 6y + x2 + y2 + 4 + 4x – 2xy – 4y =
⇔2x2 + 2y2 - 2x – 10y +
= 0
⇔ x2 + y2 – x – 5y +
= 0 (*)
Gọi M (x;y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng tọa độ Oxy.
Tọa độ M (x; y) thỏa mãn (*) nên tập hợp điểm M là đường tròn có tâm I(
; 
) và bán kính
R = 
* Gọi d là đường thẳng đi qua O và I. Đường thẳng d có dạng: y = kx.
Thay tọa độ điểm I ta được k = 5.
Vậy phương trình d là y = 5x.
Gọi M1, M2 là hai giao điểm của d và đường tròn (C), ta tìm được tọa độ 2 điểm đó là:
⇒ M1(
;
) và M2(
;
) .
Ta thấy 
⇒ Số phức cần tìm ứng với điểm biểu diễn M1 hay z =
+
i .
Chọn C.
Ví dụ 5: Trong các số phức z có mô đun là 2√2 . Tìm số phức z sao cho biểu thức
P= |z + 1| + |z + i| đạt giá trị lớn nhất?
A. z = 2 + 2i B. z = 1 + √7i
C. z = 2 - 2i D. Đáp án khác
Lời giải:
Gọi số phức thỏa mãn là z = x + yi,
(x,y ∈ R)
* Theo giả thiết:
|z| = 2√2 ⇔ 
= 2√2 ⇔ x2 + y2 = 8
*Ta có: P = |z + 1| + |z + i|
= |x + yi + 1| + |x + yi + i|
= 
+ 
*Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-côpxki cho hai bộ số (1;1) và
,
ta có:
P2 ≤ 2[(x + 1)2 + y2 + x2 + (y + 1)2]
= 2[2x2 + 2y2 + 2x + 2y + 2]
= 2(16 + 2x + 2y + 2)
= 4(9 + x + y)
* Áp dụng bất đẳng thức Bunhia-cốpxki cho hai bộ số (1;1) và (x; y), ta có:
x + y ≤ 
= 4
⇒ P2 ≤ 4(9 + 4) = 52 ⇒ P ≤ 2√13 .
Đẳng thức xảy ra khi x = y = 2
Vậy P đạt giá trị lớn nhất bằng 2√13 , khi đó z = 2+ 2i.
Chọn A.
