Bài tập mặt cầu cơ bản cực hay, có lời giải - Toán lớp 12
Bài tập mặt cầu cơ bản cực hay, có lời giải
Với Bài tập mặt cầu cơ bản cực hay, có lời giải Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập mặt cầu từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Tự luận
Bài 1: Mặt cầu tâm O bán kính R = 17dm. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà AB = 18dm, BC = 24dm, CA = 30dm. Tính khoảng cách từ O đến (P).
Lời giải:
Ta có giao tuyến của mặt phẳng (P) với mặt cầu là một đường tròn. Khi đó A, B, C nằm trên đường tròn này, nếu để ý kĩ ta thấy CA2 = AB2 + BC2, do vậy tam giác ABC vuông tại B, tức là AC chính là đường kính của đường tròn này, hay r = 15dm. Ta có hình vẽ minh họa sau:
Nhìn vào hình vẽ ta thấy
Bài 2:
a) Mặt cầu có thể tích bằng 36π cm3, khi đó bán kính mặt cầu bằng:
b) Diện tích mặt cầu bằng 100cm2, khi đó bán kính mặt cầu bằng:
c) Mặt cầu có bán kính bằng 10cm, khi đó diện tích mặt cầu bằng:
Lời giải:
a) Thể tích của khối cầu:
b) Diện tích mặt cầu:
c) Diện tích mặt cầu:
Bài 3: Cho mặt cầu (S) có thể tích là 4π/3. Mặt phẳng (α) đi qua tâm mặt cầu và cắt mặt cầu theo hình (H). Tính diện tích hình (H)
Lời giải:
Mặt phẳng (α) đi qua tâm mặt cầu sẽ cắt mặt cầu theo giao tuyến là hình tròn có bán kính bằng bán kính mặt cầu
Diện tích hình (H) là: S = πR2 = π
Bài 4: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) có giao tuyến là đường tròn (C) tâm H, bán kính r. Tính khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P)
Lời giải:
Từ hình vẽ ta thấy: ∆IHC vuông tại H
Bài 5: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B . Tính khoảng cách từ I đến đường thẳng D
Lời giải:
Từ I kẻ IH vuông góc với AB
Khi đó, khoảng cách từ I đến AB là độ dài đoạn IH
Do ∆IAB cân tại I, IH ⊥ AB nên H là trung điểm của AB
⇒ AH = AB/2
Xét ∆IAH vuông tại H có:
B. Trắc nghiệm
Bài 1: Công thức tính thể tích khối cầu đường kính R là:
Lời giải:
Đáp án : A
Bài 2: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng ?
A. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp
B. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp
C. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp
D. Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Hình thang cân thì nội tiếp đường tròn nên hình chóp có đáy là hình thang cân sẽ có mặt cầu ngoại tiếp.
Bài 3: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau đây:
A. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình tứ diện bất kì.
B. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình lăng trụ có đáy là tứ giác lồi.
C. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của một hình hộp chữ nhật.
D. Tồn tại mặt cầu đi qua các đỉnh của hình chóp đa giác đều.
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Sử dụng phương pháp loại trừ rõ ràng A, C, D đúng nên B sai
Bài 4: Cho ba điểm A, B, C cùng thuộc một mặt cầu và biết rằng ∠(ACB)=90º. Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. AB là một đường kính của mặt cầu đã cho
B. Luôn luôn có một đường tròn thuộc mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC
C. ABC là một tam giác vuông cân tại C
D. AB là đường kính của một đường tròn giao tuyến tạo bởi mặt cầu và mặt phẳng (ABC)
Lời giải:
Đáp án : D
Bài 5: Trong các đa diện sau đây, đa diện nào không luôn luôn nội tiếp được trong mặt cầu:
A. Hình chóp tam giác (tứ diện)
B. Hình chóp ngũ giác đều
C. Hình chóp tứ giác
D. Hình hộp chữ nhật
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Chọn C vì cạnh bên đồng phẳng với trục và đáy là tứ giác nội tiếp thì thì hình chóp tứ giác mới có tâm mặt cầu ngoại tiếp.
Bài 6: Cho khối trụ có bán kính đáy là 3a, chiều cao là a/2. Một khối cầu có thể tích bằng khối trục trên. Tính bán kính khối cầu
A.3a/2 B. 5a/2 C.2a D.3a
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Thể tích của khối trụ là:
Gọi R là bán kính khối cầu
Theo bài ta, khối cầu có thể tích bằng khối trục nên ta có:
Bài 7: Trong không gian cho 2 điểm phân biệt A và B. Tập hợp tâm các mặt cầu đi qua A và B là
A. một đường thẳng B. một mặt phẳng
C. một đường tròn D. một mặt cầu
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
I là tâm của các mặt cầu đi qua hai điểm phân biệt A,B cho trước khi và chỉ khi IA=IB. Vậy tập hợp tâm của các mặt cầu đó là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Bài 8: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là
A. một đường thẳng B. một mặt phẳng
C. một đường tròn D. một mặt cầu
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
I là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm phân biệt A,B,C cho trước khi và chỉ khi IA=IB=IC. Vậy ba điểm A,B,C không thẳng hàng thì tập hợp các điểm I là trục của đường trong ngoại tiếp tam giác ABC.
Bài 9: Thể tích khối cầu có bán kính R=3 là
A. 36π B. 18π C. 9π D. 27π
Lời giải:
Đáp án : A
Bài 10: Diện tích mặt cầu 2π (cm2) bán kính mặt cầu đó bằng
A. 2 cm B. 1/2 cm C. 4 cm D. √2/2 cm
Lời giải:
Đáp án : B
Bài 11: Cho mặt cầu (S1) có bán kính R1, mặt cầu (S2) có bán kính R2 và R2 = 2R1. Tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và mặt cầu (S1) bằng:
A.1/2 B.2 C.1/4 D. 4
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Tỉ số diện tích của mặt cầu (S2) và mặt cầu (S1) bằng:
Bài 12: Gọi (S) là mặt cầu có tâm O và bán kính R; d là khoảng cách từ O đến mặt phẳng (P) , với d < R. Khi đó có bao nhiêu điểm chung giữa (S) và (P)?
A. Vô số B.1 C. 2 D. 0
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Khi d < R thì giao tuyến của (P) và (S) là đường tròn, do đó giữa (P) và (S) có vô số điểm chung.
Bài 13: Cho mặt cầu có diện tích bằng 8pa2/3, khi đó bán kính mặt cầu là:
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi bán kính mặt cầu là R, ta có:
Bài 14: Cho khối cầu có thể tích bằng 32πa3/81, khi đó bán kính mặt cầu là:
A.3a/2 B. 2a/3 C.2a D.3a
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Gọi bán kính mặt cầu là R, ta có:
Bài 15: Cho điểm I cố định, số thực a > 0 không đổi. Tập hợp những điểm M thoả mãn MI = a là:
A. Mặt phẳng; B. Mặt trụ; C. Mặt nón; D. Mặt cầu.
Lời giải:
Đáp án : D
Bài 16: Mặt cầu tâm O, có bán kính R; mặt phẳng (P) có đúng một điểm chung với mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. d(O;(P)) < R B. d(O;(P)) > R
C. d(O;(P)) = R D. d(O;(P)) = 0
Lời giải:
Đáp án : C
Bài 17: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có bán kính r = 4. Biết khoảng cách từ tâm mặt cầu (S) đến mặt phẳng (P) bằng 3. Bán kính mặt cầu (S) là
A. 5 B. 4 C. √5 D. 25
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Từ hình vẽ, ta có:
Bài 18: Cho mặt cầu (S) tâm I, bán kính R. Đường thẳng D cắt mặt cầu (S) tại hai điểm A, B . Biết AB=6, khoảng cách từ I đến đường thẳng D bằng 4. Bán kính mặt cầu (S) là
A. 5 B. 4 C. √5 D. 25
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Bán kính mặt cầu (S) là:
Bài 19: Cho mặt cầu (S) tâm O bán kính r và điểm A nằm ngoài mặt cầu. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. OA = r B. OA < r C. OA > r D. OA ≤ r
Lời giải:
Đáp án : C
Bài 20: Cho mặt cầu S (I;R) và một điểm A sao cho IA = 2R. Từ A kẻ tiếp tuyến AT đến (S) (T là tiếp điểm). Khi đó độ dài đoạn thẳng AT bằng
A. R/2 B. R C. R√2 D. R√3
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Xét tam giác ATI có:
