Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ hay, chi tiết nhất - Toán lớp 12
Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ hay, chi tiết nhất
Tài liệu Lý thuyết Mặt trụ, hình trụ hay, chi tiết nhất Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Mặt trụ, hình trụ từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.
1) Mặt trụ tròn xoay
+ Trong mặt phẳng (P) cho hai đường thẳng Δ và ℓ song song nhau, cách nhau một khoảng r. Khi quay mặt phẳng (P) quanh trục cố định Δ thì đường thẳng ℓ sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ.
+ Đường thẳng Δ được gọi là trục.
+ Đường thẳng ℓ được gọi là đường sinh.
+ Khoảng cách r được gọi là bán kính của mặt trụ.
2) Hình trụ tròn xoay
+ Khi quay hình chữ nhật ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúcABCD tạo thành một hình, hình đó được gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ.
+ Đường thẳng AB được gọi là trục.
+ Đoạn thẳng CD được gọi là đường sinh.
+ Độ dài đoạn thẳng AB = CD = h được gọi là chiều cao của hình trụ.
+ Hình tròn tâm A, bán kính r = AD và hình tròn tâm B, bán kính r = BC được gọi là 2 đáy của hình trụ.
+ Khối trụ tròn xoay, gọi tắt là khối trụ, là phần không gian giới hạn bởi hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ.
3) Công thức tính diện tích và thể tích của hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr2
+ Thể tích khối trụ: V = πr2 h
4) Tính chất:
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.
- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng 
, trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (α) với 0 < φ < 90º.
- Cho mặt phẳng (α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.
+ Nếu k < r thì mặt phẳng (α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.
+ Nếu k = r thì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.
+ Nếu k > r thì mặt phẳng (α) không cắt mặt trụ.
Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ
Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:
+ Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh
+ Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = Sxq + Sđ = 2πrh + 2πr2
+ Thể tích khối trụ: V = πr2 h
Ví dụ minh họa
Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7cm. Tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.
Hướng dẫn:
Diện tích xung quanh của hình trụ: Sxq = 2πrh = 2π.5.7 = 70π
Diện tích toàn phần của hình trụ: Stp = 2πrh + 2πr2 = 70π+2π.52 = 120π
Thể tích khối trụ: V= πr2 h = 2π.52.7 = 350π
Bài 2:
a) Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm2) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Tính chiều cao của (T)
b) Một hình trụ (T) có thể tích bằng 81π (cm3) và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:
Hướng dẫn:
a) Ta có:
Stp = 2πrh + 2πr2 = 2π.6.h + 2π.62 = 120π
⇒ h = 4(cm)
Vậy chiều cao của hình trụ là 4 cm.
b) Gọi bán kính đáy của hình trụ là r
Do đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ là 3r
Ta có: V = πr2 h = πr2.3r = 81π ⇒ r = 3
Vậy độ dài đường sinh là 3.3 = 9 cm.
Bài 3: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = a√2 và ∠(ACB)=45^ordm;. Tính diện tích toàn phần Stp của hình trụ (T)
Hướng dẫn:
Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy BC, đường cao AB
∆ABC vuông cân tại B có AC = a√2 ⇒ AB = BC = a.
Stp = 2πrh+2πr2 = 2π.a.a+2πa2 = 4πa2
Bài 4: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tính thể tích của hình trụ đó
Hướng dẫn:
Gọi O là tâm của ∆ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC
Xét tam giác SAO vuông tại O có:
Khi đó, hình trụ có
Thể tích của hình trụ là:
