Cách xác định Mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp cực hay - Toán lớp 12

Cách xác định Mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp cực hay

Tài liệu Cách xác định Mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp cực hay Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Mặt cầu ngoại tiếp, mặt cầu nội tiếp từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

1. Các khái niệm cơ bản

    + Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác đáy.

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác đó.

    + Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

    + Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó.

⇒ Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.

2. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp của một số hình đa diện cơ bản

a/ Hình hộp chữ nhật, hình lập phương.

- Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

⇒ Tâm là I, là trung điểm của AC'.

- Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật (hình lập phương).

b/ Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn.

Xét hình lăng trụ đứng A₁A₂A₃...A_n.A'₁A'₂A'₃...A'_n, trong đó có 2 đáy A₁A₂A₃...A_n và A'₁A'₂A'₃...A'_n nội tiếp đường tròn (O) và (O'). Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:

- Tâm: I với I là trung điểm của OO'

- Bán kính: R = IA₁ = IA₂ = ... = IA_n

c/ Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông.

- Hình chóp S.ABC có:

- Hình chóp S.ABCD có:

d/ Hình chóp đều.

Cho hình chóp đều S.ABC

- Gọi O là tâm của đáy ⇒ SO là trục của đáy.

- Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên, chẳng hạn như mặt phẳng (SAO), ta vẽ đường trung trực của cạnh SA là Δ cắt SA tại M và cắt SO tại I ⇒ I là tâm của mặt cầu.

- Bán kính:

⇒ Bán kính là:

e/ Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy.

Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA ⊥ đáy (ABC) và đáy ABC nội tiếp được trong đường tròn tâm O. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được xác định như sau:

- Từ tâm O ngoại tiếp của đường tròn đáy, ta vẽ đường thẳng d vuông góc với (ABC) tại O.

- Trong mp(d,SA), ta dựng đường trung trực Δ của cạnh SA, cắt SA tại M, cắt d tại I.

⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp và bán kính R = IA = IB = IC = IS...

- Tìm bán kính:

Ta có: MIOA là hình chữ nhật.

Xét ΔMAI vuông tại M có:

f/ Hình chóp khác.

- Dựng trục Δ của đáy.

- Dựng mặt phẳng trung trực (α) của một cạnh bên bất kì.

- (α) ∩ Δ = I ⇒ I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ đến các đỉnh của hình chóp.

g/ Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp.

Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan trọng của bài toán.

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình chóp

1. Phương pháp giải

a. Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

+ Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d là đường thẳng vuông góc với đáy tại tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy).

+ Xác định mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên (hoặc trục Δ của của đường tròn ngoại tiếp một đa giác của mặt bên).

+ Giao điểm I của (P) và d (hoặc của Δ và d ) là tâm mặt cầu ngoại tiếp.

+ Kết luận: I là tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp.

Nhận xét: Hình chóp có đáy hoặc các mặt bên là các đa giác không nội tiếp được đường tròn thì hình chóp đó không nội tiếp được mặt cầu.

b. Mặt cầu nội tiếp hình chóp.

*Điều kiện tồn tại mặt cầu nội tiếp được khối chóp: Nếu trên đáy của một hình chóp tồn tại một điểm cách đều tất cả các mặt xung quanh của hình chóp thì hình chóp đó có một hình cầu nội tiếp.

*Cách xác định tâm mặt cầu nội tiếp khối chóp có hình chiếu vuông góc của đỉnh trùng với điểm ở đáy mà cách đều tất cả các mặt bên:

- Xác định được điểm O cách đều trên đáy.

- Nối đỉnh hình chóp với O bằng một đoạn thẳng.

- Dựng mặt phẳng phân giác của một góc nhị diện nào đó ở đáy. Giao điểm của mặt phẳng phân giác với đường thẳng trên là tâm hình cầu nội tiếp cần tìm.

*Nếu đặt V là thể tích khối chóp và S_tp là tổng diện tích mặt đáy và các mặt bên của chóp (diện tích toàn phần) thì bán kính r của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp là:

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SC= 2a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC.

A. a    B. 2a    C. a√2 .    D.

Hướng dẫn giải:

▪ Ta có: ⇒ BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ SB .

▪ Chứng minh tương tự ta được CD ⊥ SD .

▪ SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA ⊥ AC .

Suy ra: Ba điểm A, B, D cùng nhìn SC dưới một góc vuông.

Vậy bán kính mặt cầu là R = SC/2 = a .

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp tam giác đều S. ABC, biết các cạnh đáy có độ dài bằng a, cạnh bên SA = a√3 .

A.    B.    C.    D.

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm của tam giác đều ABC.

+ Ta có SO ⊥ (ABC) nên SO là trục của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

+ Gọi N là trung điểm của SA, trong mp(SAO) kẻ trung trực của SA cắt SO tại I thì IS= IA= IB= IC nên I chính là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC. Bán kính mặt cầu là R= SI.

+ Vì hai tam giác SNI và SOA đồng dạng nên ta có

Suy ra R = SI =

Mà AO = ,
SO =

Nên R = SI =

Chọn D.

Cách xác định mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp lăng trụ

1. Phương pháp giải

a.Mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ

+ Để một hình lăng trụ có mặt cầu ngoại tiếp thì hình lăng trụ đó phải là hình lăng trụ đứng và có đáy lăng trụ là một đa giác nội tiếp một đường tròn.

+ Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ

⇒ O₁O₂ là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂
⇒ IA = IB = IC= IA’ = IB’ = IC’. Suy ra:

- Trung điểm I của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ.

- Bán kính: R = IA
=

Phương pháp riêng cho hình lập phương và hình hộp chữ nhật:

-Tâm đường tròn ngoại tiếp chính là trung điểm của một đường chéo của hình hộp (giao các đường chéo).

- Bán kính
R =

b. Mặt cầu nội tiếp lăng trụ

- Khối cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a: bán kính R =

- Đường cao của hình lăng trụ bằng đường kính của hình cầu nội tiếp.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A’B’C’D’ nội tiếp trong mặt cầu bán kính R = 3cm. Tam giác ABC cân và có diện tích bằng 2cm. Diện tích toàn phần của hình hộp đó bằng:

A. 8cm²    B. 24cm²

C. 8√7cm²    D. 8(1 + 2√7) cm²

Hướng dẫn giải:

+ Ta có ABCD là hình chữ nhật nên tam giác ABC vuông tại B.

Theo giả thiết tam giác ABC cân nên tam giác ABC vuông cân tại B ⇒ AB= BC

+ Diện tích tam giác ABC là
S_ABC = .AB.BC = = AB² = 2
⇒ AB = BC = 2

Tam giác ABC có: AC = 2√2 ⇒ IC = AC/2 = √2

Xét tam giác IOC:
IO = = √7

+ Suy ra chiều cao của khối hộp là

+ Diện tích toàn phần của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ là: S_tp = S_{2 đay} + S_xq

= 2.2² + 4.2.2√7 = 8 + 16√7 = 8(1 + 2√7)

Chọn D.

Ví dụ 2. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại C, AC = a,
BC = a√2 . Góc giữa đường chéo AC’ của mặt bên (A’C’CA) với mặt đáy bằng 30⁰. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình lăng trụ.

Hướng dẫn giải:

Gọi O₁, O₂ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy.

+ Vì tam giác ABC vuông tại C nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là O₁ – trung điểm của cạnh huyền AB.

Tương tự ta có, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A’B’C’ là O₂ – trung điểm của cạnh huyền A’B’.

Gọi I là trung điểm của O₁O₂ là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ, bán kính mặt cầu là IA.

+ Xác định góc của đường AC’ và (ABC):

+ Xét tam giác ACC’:

+ Xét tam giác ABC có:

+ xét tam giác AIO₁ có:

Thể tích khối cầu là:
V =

Chọn D.