Cách xác định thiết diện của hình trụ cực hay - Toán lớp 12

---

Cách xác định thiết diện của hình trụ cực hay

Với Cách xác định thiết diện của hình trụ cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập xác định thiết diện của hình trụ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) vuông góc với trục Δ thì ta được đường tròn có tâm trên Δ và có bán kính bằng r với r cũng chính là bán kính của mặt trụ đó.

- Nếu cắt mặt trụ tròn xoay (có bán kính là r) bởi một mặt phẳng (α) không vuông góc với trục Δ nhưng cắt tất cả các đường sinh, ta được giao tuyến là một đường elíp có trụ nhỏ bằng 2r và trục lớn bằng , trong đó φ là góc giữa trục Δ và mặt phẳng (α) với 0 < φ < 90º.

- Cho mặt phẳng (α) song song với trục Δ của mặt trụ tròn xoay và cách Δ một khoảng k.

    + Nếu k < r thì mặt phẳng (α) cắt mặt trụ theo hai đường sinh thì thiết diện là hình chữ nhật.

    + Nếu k = r thì mặt phẳng (α) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

    + Nếu k > r thì mặt phẳng (α) không cắt mặt trụ.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Khối trụ có thiết diện qua trục là hình vuông cạnh 2a, tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của khối trụ

Hướng dẫn:

Thiết diện là hình vuông ABCD cạnh 2a

Đường cao của hình trụ là AB = 2a, bán kính đáy OB = a.

Diện tích xung quanh của khối trụ là: S_xq = 2πrh=2π.a.2a=4πa²

Diện tích toàn phần của khối trụ là S_tp = 2πrh+2πr²=4πa²+2πa²=6πa²

Thể tích của khối trụ là: V=πr² h=π.a².2a=2πa³

Bài 2: Khối trụ có bán kính đáy R = a .Thiết diện song song với trục và cách trục khối trụ một khoảng bằng a/2 là hình chữ nhật có diện tích bằng a² √3 .Tính thể tích khối trụ

Hướng dẫn:

∆BOC cân tại O có OH là đường cao

⇒ H là trung điểm của BC

ABCD là hình chữ nhật nên:

S_ABCD = AB.BC=AB.a√3=a² √3⇒ AB=a

Thể tích của khối trụ là:

V=πr² h=π.a².a= πa³

Bài 3: Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng qua trục ta được thiết diện là hình chữ nhật ABCD có AB và CD thuộc hai đáy của khối trụ. Biết AD = 12 cm và góc ACD bằng 60º. Tính thể tích của khối trụ

Hướng dẫn:

Xét tam giác ADC vuông tại C có:

Thể tích của khối trụ là:

V=πr² h=π.(2√3)².12=144π

Bài 4: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5a và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7a. Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trục 3a. Tính diện tích của thiết diện.

Hướng dẫn:

Thiết diện tạo thành là hình chữ nhật ABCD có AB = 7a

Từ O kẻ OH vuông góc với BC

⇒ OH=3a

∆BOC cân tại O có OH là đường cao

⇒ H là trung điểm của BC

Diện tích của thiết diện là:

S_ABCD = AB.BC=7a.8a = 56a²

Bài 5: Một hình trụ có diện tích xung quanh là 4π, thiết diện qua trục là một hình vuông. Một mp (P) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện ABB’A’, biết một cạnh của thiết diện là một dây của đường tròn đáy hình trụ và căng một cung 120º. Tính diện tích thiết diện ABB’A’ .

Hướng dẫn:

Gọi h, r là chiều cao và bán kính đáy của trụ.

Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’ cạnh a

Dây AB căng cung 120º nên ∠(BOA) = 120º

Xét tam giác BOA có :

Diện tích thiết diện BAA’B’ là :

S=AB.BB'=2√3

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Một khối trụ có bán kính đáy bằng r và có thiết diện qua trục là một hình vuông. Gọi V là thể tích hình lăng trụ tứ giác đều nội tiếp trong hình trụ và V' là thể tích khối trụ. Hãy tính tỉ số V/V'

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’

Do OB = r nên BB’ = 2r

⇒ V' = V_trụ = πr² h=π.r².2r=2πr³

Gọi đáy lăng trụ tứ giác đều là hình vuông GHIK nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r

Khi đó:

Bài 2: Cho hình trụ có thiết diện qua trục là hình vuông ABCD cạnh 2√3cm với AB là đường kính của đường tròn đáy tâm O. Gọi M là điểm thuộc AB sao cho ∠ ABM = 60º. Thể tích của khối tứ diện ACDM. bằng:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

ABCD là hình vuông cạnh 2√3 cm

Tam giác OBM cân tại O (OB = OM = √3) có ∠(OBM) = 60º nên ∆OBM đều

Từ M kẻ MH ⊥ AB ⇒ MH ⊥ CD (do AB // CD)

∆OBM đều cạnh √3 nên MH=3/2

Bài 3: Một hình trụ (T) có diện tích xung quanh bằng 4π và thiết diện qua trục của hình trụ này là một hình vuông. Diện tích toàn phần của (T) là :

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Thiết diện là hình vuông ABCD có cạnh bằng a

⇒ BB'=a;OB=a/2

Diện tích xung quanh của hình trụ:

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

S_tp = 2πrh+2πr² = 4π+2π.1² = 6π

Bài 4: Cho một hình trụ (H) có trục ∆. Một mặt phẳng (P) song song với trục ∆ và cách trục ∆ một khoảng k. Nếu k > r thì kết luận nào sau đây là đúng:

A. Mp (P) tiếp xúc với mặt trụ theo một đường sinh.

B. Mp (P) cắt mặt trụ theo hai đường sinh.

C. Mp (P) cắt mặt trụ theo một đường sinh.

D. Mp (P) không cắt mặt trụ.

Lời giải:

Đáp án : A

Bài 5: Khối trụ (T) có bán kính đáy là R và thiết diện qua trục là một hình vuông. Thể tích của khối lăng trụ tứ giác đều nội tiếp khối trụ (T) trên tính theo R bằng:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Thiết diện qua trục là hình vuông BCC’B’

Do OB = R nên BB’ = 2R

Gọi đáy lăng trụ tứ giác đều là hình vuông GHIK nội tiếp đường tròn tâm O bán kính r

Bài 6: Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng đi qua trục được thiết diện là một hình chữ nhật có diện tích bằng 30cm² và chu vi bằng 26cm. Biết chiều dài của hình chữ nhật lớn hơn đường kính mặt đáy của hình trụ (T). Diện tích toàn phần của (T) là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Thiết diện là hình chữ nhật BCC’B’ có chiều dài BB’, chiều rộng BC

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Chọn A

Bài 7: Cắt hình trụ (T) bằng một mặt phẳng song song với trục và cách trục một khoảng bằng 2cm được thiết diện là một hình vuông có diện tích bằng 16cm². Thể tích của (T) là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Thiết diện là hình vuông ABCD

Ta có: S_ABCD = AB² = 16 ⇒ AB=4 (cm)

Từ O kẻ OH ⊥ BC ⇒ OH=2 cm

Do ∆OBC cân tại O, OH ⊥ BC nên H là trung điểm BC

⇒ BH=BC/2=2

Xét ∆OBH vuông tại H có OH = BH = 2 cm

⇒ ∆OBH vuông cân tại H ⇒ OB=OH√2=2√2 (cm)

Thể tích của hình trụ là:

V=πR² h=π.OB².AB=π.(2√2)².4=32π(cm³)

Bài 8: Một hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy bằng 5. Mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông. Khoảng cách từ trục hình trụ đến mặt phẳng (P) là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Hình trụ có đường cao bằng bán kính đáy nên OB=AB=5.

Mặt phẳng (P) song song với trục của hình trụ và cắt hình trụ theo thiết diện là hình vuông ABCD

⇒ BC=AB=5

Từ O Từ O kẻ OH ⊥ BC ⇒ Khoảng cách từ trục của khối trụ đến mặt phẳng (P) là độ dài đoạn OH

Do ∆OBC cân tại O, OH ⊥ BC nên H là trung điểm BC

⇒ BH=BC/2=5/2

Xét ∆OBH vuông tại H:

Bài 9: Khối trụ có thiết diện qua trục là một hình vuông cạnh bằng a. Mệnh đề nào dưới đây là mệnh đề sai:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Thiết diện là hình vuông BCC’B’ cạnh a

⇒ BB'=a; OB= a/2

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Diện tích toàn phần của hình trụ là:

Thể tích của hình trụ là:

Bài 10: Cho hình trụ có trục O₁ O₂. Một mặt phẳng (α) song song với trục O₁ O₂, cắt hình trụ theo thiết diện là hình chữ nhật ABCD. Gọi O là tâm của thiết diện đó, bán kính đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD bằng bán kính đường tròn đáy hình trụ. Góc ∠(O₁ OO₂) bằng

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

ABCD là hình chữ nhật có tâm O ⇒ O là trung điểm của AC

Gọi M là trung điểm của AB ⇒ O₁ M ⊥ AB;OM ⊥ AB và theo giả thiết AO = AO₁

Hai tam giác vuông MAO và MAO₁ có:

MA chung

AO = AO₁

⇒ ∆MAO=∆MAO₁ ⇒ OM=O₁ M

Ta có OM // BC ; BC ⊥ (O₁ AB) nên OM ⊥ (O₁ AB)

⇒ ∆OMO₁ vuông tại M

Lại có OM=O₁ M

⇒ ∆OMO₁ vuông cân tại M

Gọi H là trung điểm của O₁ O₂

⇒ OM O₁H là hình chữ nhật

⇒ OH ⊥ OO₁ ⇒ Tam giác OO₁ O₂ cân tại O

Tam giác OO₁ O₂ cân tại O có ∠(OO₁ O₂)=45º

⇒ Tam giác OO₁ O₂ vuông cân tại O