Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ - Toán lớp 12

---

Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Với Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Cho hình trụ có chiều cao là h và bán kính đáy bằng r, khi đó:

    + Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh

    + Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = S_xq + S_đ = 2πrh + 2πr²

    + Thể tích khối trụ: V = πr² h

Ví dụ minh họa

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7cm. Tính Diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình trụ.

Hướng dẫn:

Diện tích xung quanh của hình trụ: S_xq = 2πrh = 2π.5.7 = 70π

Diện tích toàn phần của hình trụ: S_tp = 2πrh + 2πr² = 70π+2π.5² = 120π

Thể tích khối trụ: V= πr² h = 2π.5².7 = 350π

Bài 2:

a) Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm²) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Tính chiều cao của (T)

b) Một hình trụ (T) có thể tích bằng 81π (cm³) và đường sinh gấp ba lần bán kính đáy. Độ dài đường sinh của (T) là:

Hướng dẫn:

a) Ta có:

S_tp = 2πrh + 2πr² = 2π.6.h + 2π.6² = 120π

⇒ h = 4(cm)

Vậy chiều cao của hình trụ là 4 cm.

b) Gọi bán kính đáy của hình trụ là r

Do đường sinh của hình trụ bằng chiều cao nên chiều cao của hình trụ là 3r

Ta có: V = πr² h = πr².3r = 81π ⇒ r = 3

Vậy độ dài đường sinh là 3.3 = 9 cm.

Bài 3: Hình trụ (T) được sinh ra khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB. Biết AC = a√2 và ∠(ACB)=45^ordm;. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình trụ (T)

Hướng dẫn:

Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh cạnh AB ta được hình trụ có bán kính đáy BC, đường cao AB

∆ABC vuông cân tại B có AC = a√2 ⇒ AB = BC = a.

S_tp = 2πrh+2πr² = 2π.a.a+2πa² = 4πa²

Bài 4: Một hình tứ diện đều ABCD cạnh a. Xét hình trụ có 1 đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC và có chiều cao bằng chiều cao hình tứ diện. Tính thể tích của hình trụ đó

Hướng dẫn:

Gọi O là tâm của ∆ABC đều cạnh a, M là trung điểm của BC

Xét tam giác SAO vuông tại O có:

Khi đó, hình trụ có

Thể tích của hình trụ là:

Bài 5: Cho hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O’, bán kính đáy bằng chiều cao và bằng a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O’ lấy điểm B sao cho AB = 2a. Tính thể tích của khối tứ diện OO’AB

Hướng dẫn:

Vẽ đường sinh AA’ và gọi D là điểm đối xứng của A’ qua O’

Kẻ BH ⊥ A'D, H ∈ A'D

Do A’D // AO nên BH ⊥ AO

Lại có: BH ⊥ OO'

⇒ BH ⊥ (O'AO)

Vậy BH là đường cao của khối chóp B.AOO’.

Tam giác AA’B vuông ở A’ nên:

Tam giác A’BD vuông ở B nên:

⇒ BD = O'D = O'B = a

⇒ Tam giác BO’D là tam giác đều cạnh a

Thể tích khối tứ diện OO’AB là:

B. Bài tập vận dụng

Bài tập tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ

Bài 1: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5 cm, chiều cao h = 7 cm. Diện tích xung quanh của hình trụ này là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

S_xq=2πrh=2π.5.7=70π (cm² )

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy r = a , độ dài đường sinh l = 2a . Diện tích toàn phần của hình trụ này là:

A.6πa²        B.2πa²        C.4πa²        D.5πa²

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

S_tp=2πrh+2πr²=2π.a.2a+2πa²=6πa²

Bài 3: Quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh. Thể tích của khối trụ được tạo thành là:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Khi quay hình vuông ABCD cạnh a xung quanh một cạnh được hình trụ có chiều cao BC, bán kính BA

V=πr² h=πa².a= πa³

Bài 4: Cho hình vuông ABCD cạnh 8 cm. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Quay hình vuông ABCD xung quanh MN. Diện tích xung quanh của hình trụ tạo thành là:

A.64π (cm² )        B. 32π (cm² )

C.96π (cm² )        D. 126π (cm² )

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Khi quay hình vuông ABCD xung quanh MN ta được hình trụ có chiều cao BC = 8 cm; bán kính đáy MA = 4 cm

S_xq=2πrh=2π.4.8=64π (cm² )

Bài 5: Một hình trụ (T) có diện tích toàn phần là 120π (cm² ) và có bán kính đáy bằng 6 cm. Chiều cao của (T) là:

A. 6 cm        B. 5 cm        C. 4 cm        D. 3 cm

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

S_tp=2πrh+2πr²⇒120π=2π.6.h+2π.6²⇒h=4(cm)

Bài 6: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và góc ∠(BDC)=30º. Quay hình chữ nhật này xung quanh cạnh AD. Diện tích xung quanh của hình trụ được tạo thành là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Xét tam giác BDC vuông tại C có:

Bài 7: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi (C) và (C’) lần lượt là hai đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD và (A’B’C’D’). Hình trụ có hai đáy là (C) và (C’) có thể tích là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Bán kính đáy của hình trụ là:

Đường cao h=OO^'=a

Thể tích hình trụ cần tìm:

Bài 8: Một hình trụ có tỉ số giữa diện tích toàn phần và diện tích xung quanh bằng 4. Khẳng định nào sau đây là đúng:

A. Đường sinh bằng bán kính đáy

B. Bán kính đáy bằng ba lần đường sinh

C. Đường sinh bằng ba lần bán kính đáy

D. Đường sinh bằng bốn lần bán kính đáy

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Ta có:

Vậy bán kính bằng ba lần đường sinh

Bài 9: Trong không gian, cho hình chữ nhật ABCD có AB = 1 và AD = 2. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC. Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN, ta được một hình trụ. Tính diện tích toàn phần S_tp của hình trụ đó.

A.4π        B.2π        C.6π        D.10π

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Quay hình chữ nhật ABCD xung quanh trục MN, ta được một hình trụ có chiều cao AB =1; bán kính đáy AM = 1

S_tp=2πrh+2πr²=2π.1.1+2π.1²=4π

Bài 10: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a và một hình trụ có 2 đáy nội tiếp trong 2 hình vuông ABCD và A’B’C’D’. Tỉ số giữa diện tích xung quanh hình trụ và diện tích toàn phần của hình lập phương bằng:

Lời giải:

Đáp án : C

Giải thích :

Bán kính đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD cạnh a là OM=a/2

Đường cao của hình trụ h=a

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Diện tích toàn phần của hình lập phương: S_lp=6a²

Bài tập tính chiều cao, bán kính, diện tích, thể tích hình trụ (phần 2)

Bài 1: Cho lăng trụ tam giác đều có tất cả các cạnh bằng a. Một hình trụ tròn xoay có hai đáy là hai hình tròn ngoại tiếp hai đáy của lăng trụ. Thể tích của khối trụ tròn xoay bằng:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi O là tâm ∆ABC đều cạnh a

Khi đó, bán kính đáy của hình trụ là r = OA = (a√3)/3

Chiều cao của hình trụ h = BB' = a

Thể tích của khối trụ là:

Bài 2: Một hình trụ có bán kính đáy bằng a, chiều cao OO'=a√3. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đáy (O); (O’) sao cho góc giữa OO’ và AB bằng 30°. Khoảng cách giữa AB và OO' bằng:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Trên (O) lấy điểm C sao cho BC // OO’. Khi đó:

∠(ABC)=30º

Xét tam giác BAC vuông tại C có:

AC=BC.tan⁡∠(ABC) =a√3.tan⁡30º =a

Gọi H là hình chiếu của O lên AC. Suy ra d (OO’, AB) = d ( OO’; AC) = OH

Do đó: OH là đoạn vuông góc chung của AB và OO’

Vậy khoảng cách giữa OO’ và AB là độ dài đoạn OH.

Tam giác OAC là tam giác đều cạnh a nên OH=(a√3)/2.

Kiến thức bổ sung:

    + Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ là góc giữa hai đường thẳng ∆'₁ và ∆'₂ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với ∆₁ và ∆₂.

Góc giữa hai đường thẳng không vượt quá 90º

    + Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó.

Bài 3: Hình trụ có bán kính đáy 3cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 10cm thì có diện tích toàn phần là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

S_tp=2πrh+2πr²=2π.3.10+2π.3²=78π (cm² )

Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Gọi S là diện tích xung quanh của hình trụ có hai đường tròn đáy ngoại tiếp hai hình vuông ABCD và A'B'C'D'. Diện tích S là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Chiều cao hình trụ là chiều cao (hay cạnh) của hình lập phương: h=a

Bán kính đáy hình trụ là bán kính đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD cạnh a ⇒ r=a/√2

S_xq=2πrh=√2 πa²

Bài 5: Cho lăng trụ đều ABC.A'B'C' . Biết rằng góc giữa (A'BC) và (ABC) là 30º, cạnh đáy bằng a . Thể tích khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C' là.

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

Gọi O là tâm đáy ABC, M là trung điểm của BC ⇒ A' O ⊥ (ABC)

∆ABC đều cạnh a nên AM ⊥ BC

Lại có: A' O ⊥ BC ⇒ (AMA') ⊥ BC ⇒ A'M ⊥ BC

⇒ Góc giữa 2 mặt phẳng (A’BC) và (ABC) là góc ∠(A'AM)=30º

Xét ∆A’OM có:

Khối trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A'B'C’ có đường cao A’O và bán kính đáy AO

Bài 6: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ biết tam giác ABC vuông tại A có cạnh AB=AC=a và góc ∠(ABA')=45º. Diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ là:

Lời giải:

Đáp án : B

Giải thích :

∆AA’B vuông tại A, ∠(ABA') = 45º

⇒ ∆AA’B vuông cân tại A ⇒ AA'=AB=a

∆AA’B vuông tại A nên tâm đường tròn ngoại tiếp ∆AA’B là trung điểm của BC

Hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ có bán kính đáy là r = (a√2)/2; chiều cao AA'=a

Diện tích xung quanh của hình trụ là:

Bài 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một góc 60º. Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD. Thể tích khối trụ có đáy ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp là:

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi O là tâm hình vuông ABCD ⇒ SO ⊥ (ABCD)

Ta có: OD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

⇒ Góc giữa cạnh bên SD và (ABCD) là ∠(SDO) = 60º

ABCD là hình vuông cạnh a, O là tâm hình vuông

Thể tích khối trụ có đáy ngoại tiếp đáy hình chóp S.ABCD và chiều cao bằng chiều cao của hình chóp là:

Bài 8: Cho khối trụ có thể tích bằng 24π . Nếu tăng bán kính đường tròn đáy lên 2 lần thì thể tích khối trụ mới là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Ta có: V = πr² h = 24π

Nếu tăng bán kính đường tròn đáy lên 2 lần thì ta có:

V'= π(2r)² h = 4πr²h = 4.24π

Bài 9: Cho một hình trụ tròn xoay và hình vuông ABCD cạnh a có hai đỉnh liên tiếp A, B nằm trên đường tròn đáy thứ nhất của hình trụ, hai đỉnh còn lại nằm trên đường tròn đáy thứ hai của hình trụ. Mặt phẳng (ABCD) tạo với đáy hình trụ góc 45º. Thể tích của khối trụ là?

Lời giải:

Đáp án : D

Giải thích :

Gọi M, N lần lượt theo thứ tự là trung điểm của AB và CD.

Khi đó: OM ⊥ AB; O'N ⊥ DC

Giả sử I là giao điểm của MN và OO’

Ta có:

Khi đó:

⇒ Góc giữa (ABCD) và đáy là ∠(IMO)=45º

Đặt R = OA, h = OO’.

∆IOM vuông tại O có ∠(IMO)=45º nên ∆IOM vuông cân tại O

Xét ∆AMO vuông tại M có:

Thể tích của khối trụ là:

Bài 10: Một hình trụ có chu vi của đường tròn đáy là c, chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy. Thể tích của khối trụ này là:

Lời giải:

Đáp án : A

Giải thích :

Chu vi của đường tròn đáy là c:

Chiều cao của hình trụ gấp 4 lần chu vi đáy: h=4c