Cách giải bài tập tích phân nâng cao cực hay - Toán lớp 12
Cách giải bài tập tích phân nâng cao cực hay
Với Cách giải bài tập tích phân nâng cao cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tích phân nâng cao từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải
+ Phương pháp đổi biến số loại 1
Cho hàm số y = f[u(x)] liên tục trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên đoạn [a;b]; hàm số y = f(u) liên tục sao cho hàm hợp f[u(x)] xác định. Khi đó, ta có:
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
+ Phương pháp đổi biến số dạng 2
Cho hàm số y = f(x) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a;b]. Giả sử hàm số x = φ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [α;β] sao cho φ(α) = a; φ(β) = b và a ≤ φ(t) ≤ b với mọi t ∈ [α;β]. Khi đó:
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng:
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính tích phân 
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân 
thì nên đổi biến dạng 1.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Cho
với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + c.
A. T = 13. B. T = 5. C. T = 17. D. T = 11.
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 2. Cho
với a, b, c ∈ N. Tính T = a + b + c.
A. 13. B. 15. C. 10. D. 11.
Lời giải
Chọn C.
Ví dụ 3. Cho
với a, b, c ∈ N. Tính T = abc.
A. –18. B. 16. C. 18. D. -16.
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 4. Cho y = f(x) là hàm liên tục và a > 0. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;a], ta có f(x) > 0 và f(x).f(a - x) = 1.
Tính 
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 5. Cho f(x) là hàm liên tục trên [0;1]. Giả sử rằng với mọi x ∈ [0;1], ta có f(x) > 0 và f(x).f(1 - x) = 4.
Tính 
A. 1. B. 2. C. 1/2. D. 1/4.
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 6. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn 
và 3f(-x) - 2f(x) = tan2x.
Tính 
Lời giải
Chọn D.
Ví dụ 7. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn f(-x) + 2018f(x) = xsinx.
Tính 
Lời giải
Chọn A.
Ví dụ 8. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R và thỏa mãn:
Tính 
A. I = -1. B. I = 1. C. I = -2. D. I = 2.
Lời giải
Chọn D.
C. Bài tập vận dụng
Câu 1: Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng
thỏa mãn 
và f(e2) = 3.
Tính giá trị của biểu thức 
A. 3(ln2 + 1).
B. 2ln2.
C. 3ln2 + 1.
D. ln2 + 3.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 2: Cho hàm số 
có đạo hàm là hàm số y = f'(x) với đồ thị như hình vẽ bên dưới. Biết rằng đồ thị hàm số y = f(x) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ âm. Khi đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ là:
A. -4. B. 1. C. 2. D. 5.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 3: Cho y = f(x) là hàm số chẵn, liên tục trên R biết đồ thị hàm số y = f(x) đi qua điểm 
.
Tính 
.
A. I = 10. B. I = -2. C. I = 1. D. I = -1.
Lời giải:
Chọn B.
Câu 4: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [0;1] thỏa mãn điều kiện:
Tính tích phân 
Lời giải:
Câu 5: Cho hàm số y = f(x) liên tục với mọi x ≠ 1 thỏa mãn:
Tính 
A. I = 4e - 1.
B. I = e + 2.
C. I = 4e - 2.
D. I = e +3.
Lời giải:
Chọn C.
Câu 6: Cho tích phân 
.
Tính tích phân 
A. K = -8. B. K = 4. C. K = 8. D. K = 16.
Lời giải:
Chọn C.
Câu 7: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên R, thỏa mãn 
Tính 
A. I = 1. B. I = -1. C. I = π/4. D. -π/4.
Lời giải:
Chọn A.
Câu 8: Cho hàm số y = f(x) liên tục và thỏa mãn:
Tính 
Lời giải:
Chọn B.
