Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay - Toán lớp 12

Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay

Với Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa hàm số chẵn, lẻ.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền K. Với mọi x ∈ K và -x ∈ K:

    - Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

    - Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) hàm số chẵn.

+ Mệnh đề: Nếu hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a;a] thì:

+ Mệnh đề: Nếu hàm số y = f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a;a] thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. 1998.     B. 2019.     C. 0.     D. 4038.

Lời giải

Ta xét hàm số f(x) = x¹¹ + 8x⁹ – x xác định và liên tục trên R.

Ta có: f(-x) = (-x)¹¹ + 8.(-x)⁹ – (-x) = -x¹¹ - 8x⁹ + x

⇒ f(-x) = -f(x)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên:

Chọn C.

Ví dụ 2. Tính

A. 0.     B. 2 + 2√2.     C. 3.     D. 2 + √3.

Lời giải

Xét hàm số y = f(x) = sinx + tanx

Với mọi x ≠ π/2 + kπ ta có: -x ≠ π/2 + kπ

⇒ f(-x)= sin(-x)+ tan(-x)= -sinx - tanx

⇒ f(-x)= -f(x). Do đó, hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

Chọn A.

Ví dụ 3. Tính

A. 3.     B. 4 + 10√2.     C. 2 - 10.cos1.     D. 0.

Lời giải

Ví dụ 4. Tính

Lời giải

Xét hàm số y = f(x) = cos³x xác định và liên tục trên R.

Ta có: f(-x) = cos³(-x) = cos³x (vì cos(-x) = cosx)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn.

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Xét hàm số y = f(x) = sin¹¹x xác định và liên tục với mọi x.

Ta có: f(-x) = sin¹¹(-x) = -sin¹¹x (vì sin(-x) = -sinx)

⇒ f(-x) = -f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Ví dụ 6. Tính

A. 8.     B. 6.     C.10.     D. Tất cả sai.

Lời giải

Ví dụ 7. Tính

A. 10.     B. 0.     C. 20.     D. 30.

Lời giải

Ví dụ 8. Tính

A. 4.     B. 3.     C. 0.     D. Tất cả sai.

Lời giải

Xét hàm số: y = f(x) = sinx(x⁴ + 2x²) hàm số liên tục và xác định với mọi x.

Ta có: f(-x) = sin(-x).[(-x)⁴ + 2.(-x)²] = -sinx.(x⁴ + 2x²)

⇒ f(-x) = -f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính

A. 3009.     B. 6018.     C. 0.     D. 4038.

Lời giải:

Ta xét hàm số f(x) = -2x⁹ + 8x¹¹ + 3x xác định và liên tục trên R.

Ta có: f(-x) = -2(-x)⁹ + 8.(-x)¹¹ + 3(-x) = 2x⁹ - 8x¹¹ – 3x

⇒ f(-x) = -f(x)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên:

Câu 2: Tính

A. 404.     B. 0.     C. 1616.     D. 808.

Lời giải:

Câu 3: Tính

A. 0.     B. 2 + 2√2.     B. 3.     D. 2.

Lời giải:

Câu 4: Tính

A. e - e^-1.     B. 4 + e√2.     C. 2e – e^-1.     D. e + 1.

Lời giải:

Câu 5: Tính

Lời giải:

Câu 6: Tính

Lời giải:

Xét hàm số y = f(x) = 2tan³x.x² xác định với mọi x ≠ π/2 + kπ.

Ta có: f(-x) = 2tan³(-x).(-x)² = -2tan³x.x² (vì tan(-x)= -tanx và (-x)² = x²)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Câu 7: Tính

A. 1/√2.     B. √2.     C. 0.     D. Đáp án khác.

Lời giải:

Câu 8: Tính

Lời giải:

Câu 9: Tính

A. -4.     B. 0.     C. 4.     D. 8.

Lời giải:

Câu 10: Tính

A. 10.     B. 5.     C. 0.     D. Tất cả sai.

Lời giải:

Xét hàm số: y = f(x) = cosx.(x³ + x), hàm số liên tục và xác định với mọi x.

Ta có: f(-x) = cos(-x).[(-x)³ - x] = cosx.(-x³ - x) = -cosx(x³ + x)

⇒ f(-x) = -f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.