Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số - Toán lớp 12

Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số

Với Các bài toán về tiếp tuyến của hàm số Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập về tiếp tuyến của hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Ví dụ 1: Cho hàm số y = x⁴ + (1/2)mx² + m - 1 có đồ thị (C). Biết tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0. Tìm m.

Hướng dẫn giải:

   - Ta có y' = 4x³ + mx

   - Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm có hoành độ là -1 là y'(-1)=-4 - m

   - Hệ số góc của đường thẳng x - 3y + 1 = 0 hay y = (1/3)x + 1/3 là 1/3

   - Vì tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1 vuông góc với đường thẳng có phương trình x - 3y + 1 = 0 nên (-4 - m).(1/3) = -1 ⇔ -4 - m = 3 ⇔ m = -1

Ví dụ 2: Cho y = (3 - 2x)/(x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua hai điểm A(-7;6) và B(-3;10).

Hướng dẫn giải:

   Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x_o (x_o ≠ -1) là:

   Δ: y = y' (x_o )(x - x_o ) + y(x_o ) ⇒ Δ:y = - 5/(x_o + 1)² (x - x_o ) + (3 - 2x_o )/(x_o + 1)

   ⇒ Δ: 5x + (x_o + 1)² y + 2x_o² - 6x_o - 3 = 0

    Vì Δ cách đều các điểm A và B nênc

   d(A; Δ) = d(B; Δ)

   Vậy các tiếp tuyến cách đều A và B là y = (-5/4)x + 7/4 và y = -5x - 17

Ví dụ 3: Tìm m để (C_m): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E sao cho các tiếp tuyến với (C_m) tại D và E vuông góc với nhau.

Hướng dẫn giải:

   Phương trình hoành độ giao điểm x³ + 3x² + mx + 1 = 1 ⇔ x³ + 3x² + mx = 0

   ⇔ x(x² + 3x + m) = 0 ⇔

   Để (C_m): y = x³ + 3x² + mx + 1 cắt đường thẳng y = 1 tại ba điểm phân biệt C(0; 1), D, E thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt khác 0

   Gọi x₁, x₂là hai nghiệmcủa phương trình (*) khi đó tọa độ của D và E lần lượt có dạng D(x₁; 1); E(x₂; 1) thỏa mãn hệ thức Vi ét

   Ta có y' = 3x² + 6x + m

   Vì các tiếp tuyến với (C_m) tại D và E vuông góc với nhau nên ta có:

   y'(x₁ ).y'(x₂)=-1⇔ (3x₁² + 6x₁ + m)(3x₂² + 6x₂ + m) = -1

   ⇔ 9(x₁ x₂)² + 18x₁x₂(x₁ + x₂) + 3m[(x₁ + x₂)² - 2x₁x₂] + 36x₁x₂ + 6m(x₁ + x₂) + m² = -1

   ⇔ 9m² -54m + 3m(9 - 2m) + 36m - 18m + m² = -1

   ⇔ 4m² -9m + 1 = 0 ⇔

   Vậy giá trị của tham số m cần tìm là m = (9 + √65)/8 và m = (9 - √65)/8

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Cho hàm số y = 4x₂ + 3mx + 6 (C). Tìm m để (C) có tiếp tuyến đi qua điểm A(1; -2).

Bài 2: Cho hàm số y = 3x³ + 3mx₂ + (2m + 1)x + 1. Tìm m để tiếp tuyến tại điểm có hoành độ x = 1 đi qua điểm A(2; 2).

Bài 3: Cho y = (1/3)x³ - mx₂ - x + m - 1 (C). Tìm m để hệ số góc của tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất của đồ thị là -10. Viết phương trình các tiếp tuyến đó.

Bài 4: Cho y = (1/3)x³ - m/2 x₂ + (1/3)(C_m). Gọi M là điểm thuộc (C_m) có hoành độ bằng -1. Tìm m để tiếp tuyến tại M của (C_m) song song với đường thẳng d: 5x - y = 0.

Bài 5: Cho y = mx⁴ + (3m + 1/24)x₂ + 2 (C_m). Gọi A và B lần lượt là các điểm có hoành độ bằng -1 và 2 của (C_m). Tìm m để các tiếp tuyến của (C_m) tại A và B vuông góc với nhau.

Bài 6: Cho y = (1 - x)/(2x + 1) (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến cách I(-1/2; -1/2) một khoảng bằng 3/√10.

Bài 7: Tìm m để (C_m):y = x³ /3 - 1/2(m + 2)x₂ + 2mx + 1 tiếp xúc với đường thẳng y = 1

Bài 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = x³ - 6x₂ + 9x - 2 tại điểm M, biết M cùng hai điểm cực trị của (C) tạo thành tam giác có diện tích bằng 6.