Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay - Toán lớp 12

---

Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay

Với Cách viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Phương pháp giải

1. Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) và điểm. M₀ (x₀; y₀) ∈ (C)

Tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ có dạng y = f'(x₀ )(x - x₀ ) + y₀

Trong đó:

 Điểm M₀ (x₀; y₀) ∈(C) được gọi là tiếp điểm ( với y₀ = f(x₀)).

 k = f'x₀) là hệ số góc của tiếp tuyến.

 Chú ý:

 Đường thẳng bất kỳ đi qua M₀ (x₀; y₀) có hệ số góc k, có phương trình

y = k(x - x₀ ) + y₀

 Cho hai đường thẳng Δ₁:y = k₁ x + m₁ và Δ₂:y = k₂ x + m₂

Lúc đó:

2. Điều kiện tiếp xúc của hai đồ thị

Cho hai hàm số y = f(x),(C) và y = g(x),(C')

(C) và (C' ) tiếp xúc nhau khi chỉ khi hệ phương trình

có nghiệm.

Nghiệm của hệ là hoành độ tiếp điểm của hai đồ thị đó.

Đặc biệt: Đường thẳng y = kx + m là tiếp tuyến với (C):y = f(x) khi chỉ khi hệ có nghiệm.

3. Các dạng phương trình tiếp tuyến thường gặp

Cho hàm số y = f(x) gọi đồ thị của hàm số là (C)

Dạng 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) tại M₀ (x₀; y₀)

Phương pháp

Bước 1. Tính y' = f' (x) suy ra hệ số góc của phương trình tiếp tuyến là k = y' (x₀).

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M₀ (x₀; y₀) có dạng

y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)

Dạng 2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) có hệ số góc k cho trước.

Phương pháp

Bước 1. Gọi M₀ (x₀; y₀) là tiếp điểm và tính y' = f' (x).

Bước 2. Hệ số góc tiếp tuyến là k = f' (x₀). . Giải phương trình này tìm được x₀ thay vào hàm số được y₀.

Bước 3. Với mỗi tiếp điểm ta tìm được các tiếp tuyến tương ứng

d: y - y₀ = f' (x₀)(x - x₀)

Chú ý: Đề bài thường cho hệ số góc tiếp tuyến dưới các dạng sau:

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b ⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = a

Tiếp tuyến d Δ:y = ax + b(a ≠ 0)⇒ hệ số góc của tiếp tuyến là k = -1/a

Tiếp tuyến tạo với trục hoành một góc α thì hệ số góc của tiếp tuyến d là k = ±tan⁡α

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(x_A; y_A)

Phương pháp

Cách 1.

Bước 1: Phương trình tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A) hệ số góc k có dạng

d:y = k(x - x_A ) + y_A (*)

Bước 2: là tiếp tuyến của khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:

Bước 3: Giải hệ này tìm được x suy ra k và thế vào phương trình (*), ta được tiếp tuyến cần tìm.

Cách 2.

Bước 1. Gọi M(x₀; f(x₀ )) là tiếp điểm và tính hệ số góc tiếp tuyến

k = y'(x₀ ) = f' (x₀) theo x₀

Bước 2. Phương trình tiếp tuyến có dạng d = y'(x₀ )(x - x₀ ) + y₀ (**). Do điểm A(x_A; y_A) ∈ d nên y_A = y'(x₀ )(x_A - x₀ ) + y₀ giải phương trình này ta tìm được x₀ .

Bước 3. Thế x₀ vào (**) ta được tiếp tuyến cần tìm.

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho hàm số (C):y = x³ + 3x². Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4).

Hướng dẫn

Ta có y' = 3x² + 6x; y'(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm M(1; 4) là:

y = 9(x - 1) + 4 = 9x - 5

Ví dụ 2: Cho hàm số (C):y = 4x³ - 6x² + 1. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9).

Hướng dẫn

Ta có y' = 12x² - 12x

Gọi M(x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (12x₀² - 12x_0> )(x - x₀ ) + 4x₀³ - 6x₀² + 1

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(-1; -9) nên ta có:

-9 = (12x₀² - 12x₀ )( -1 - x₀ ) + 4x₀³ - 6x₀³ + 1

Với .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 15/4 (x - 5/4) - 9/16 = 15/4 x - 21/4

Với x₀ = -1 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 24(x + 1) - 9 = 24x + 15

Ví dụ 3: Cho hàm số (C):. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0

Hướng dẫn

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = 3/(x + 2)² .

Phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 hay Δ:y = 3x + 2

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình Δ:3x - y + 2 = 0 nên ta có

Với x₀ = -1

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 1) - 1 = 3x + 2 (loại).

Với x₀ = -3

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x + 3) + 5 = 3x + 14 (thỏa mãn)

B. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hàm số y = -2x³ + 6x² - 5. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ bằng 3.

Lời giải:

Ta có y' = -6x² + 12x; y' (3) = -18; y(3) = -5

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ bằng 3 là

y = -18(x - 3) - 5 = -18x + 49

Câu 2: Cho hàm số (C):y = 1/4x⁴ - 2x². Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có hoành độ x⁰ > 0 biết rằng y'' (x₀ )= -1.

Lời giải:

Ta có y' = x³ - 4x; y'' = 3x² - 4

Vì y'' (x₀ ) = -1 ⇒ 3x₀² - 4 = -1 ⇒ x₀² = 1 ⇒ x₀ = 1 (Vì x₀ > 0)

Với x₀ = 1 ⇒ y₀ = -7/4 ; y₀' = -3. Khi đó phương trình tiếp tuyến tại điểm M là:

y = -3(x - 1) - 7/4 = -3x + 5/4

Câu 3: Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (C):y =(x - 5)/(-x + 1) tại điểm A của (C) và trục hoành. Viết phương trình của d.

Lời giải:

Hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành là nghiệm của phương trình

(x - 5)/(-x + 1) = 0 ⇒ x = 5

Khi đó tọa độ điểm A = (5; 0)

ĐKXĐ x ≠ 1. Ta có y'= (-4)/(-x + 1)² ; y'(5) = -1/4

Phương trình đường thẳng d chính là phương trình tiếp tuyến tại điểm A(5;0) có dạng

y = -1/4 (x - 5) = -1/4 x + 5 /4

Câu 4: Cho đồ thị hàm số y = 3x - 4x² có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3).

Lời giải:

Ta có y' = 3 - 8x

Gọi M(x₀ , y₀) là tọa độ tiếp điểm

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có dạng:

y = (3 - 8x₀ )(x - x₀ ) + 3x₀ - 4x₀²

Vì tiếp tuyến đi qua điểm A(1; 3) nên ta có:

3 = (3 - 8x₀ )(1 - x₀ ) + 3x₀ - 4x₀²

Với x₀ = 0 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 0) + 0 = 3x

Với x₀ = 2 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -13(x - 2) - 10 = -13x + 16

Câu 5: Cho hàm số y = x³ - 3x² + 6x + 1 có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến có hệ số góc nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi M(x₀,y₀) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y' = 3x² - 6x + 6

Khi đó y' (x₀ )=3x₀² - 6x₀ + 6 = 3(x₀² - 2x₀ + 2) = 3[(x₀ - 1)² + 1] ≥ 3

Vậy hệ số góc nhỏ nhất của tiếp tuyến là y' (x₀) = 3, dấu bằng xảy ra khi x₀ = 1

Với x₀ = 1 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 3(x - 1) + 5 = 3x + 2

Câu 6: Cho hàm số (C):y = x³ - 3x + 2. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến đó có hệ số góc bằng 9.

Lời giải:

Gọi M(x₀, y₀) là tọa độ tiếp điểm.

Ta có y' = 3x² - 3

Khi đó y'(x₀ ) = 3x₀₂ - 3 = 9

Với x₀ = 2 thì

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x - 2) + 4 = 9x - 14

Với x₀ = -2 thì .

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = 9(x + 2) + 0 = 9x + 18

Câu 7: Cho hàm số y = (-x + 5)/(x + 2) có đồ thị là (C). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) sao cho tiếp tuyến đó song song với đường thẳng d:y = -1/7 x + 5/7

Lời giải:

ĐKXĐ: x ≠ -2. Ta có y' = (-7)/(x + 2)² .

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình d:y = -1/7 x + 5/7 nên ta có

Với

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 (x - 5) + 0 = -1/7 x + 5/7 (loại).

Với x₀ = -9

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -1/7 (x + 9) - 2 = -1/7 x - 23/7 (thỏa mãn).

Câu 8: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = -x⁴ - 2x² + 3 vuông góc với đường thẳng Δ: x - 8y + 2017 = 0

Lời giải:

Ta có y'= -4x³ - 4x.

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀)

Phương trình Δ:x - 8y + 2017 = 0 hay Δ: y = 1/8 x + 2017/8

Vì tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng có phương trình d:y = 1/8 x + 2017/8 nên ta có

y'(x₀ ) = -8 hay -4x₀³ - 4x₀ = -8 ⇔ x₀ = 1

Với

Khi đó phương trình tiếp tuyến cần tìm là y = -8(x - 1) + 0 = -8x + 8 (thỏa mãn).

Câu 9: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 1/3 x³ + 1/2 x² - 2x + 1 và tiếp tuyến tạo với đường thẳng d:x + 3y - 1 = 0 một góc 45₀.

Lời giải:

Gọi tọa độ tiếp điểm là M(x₀, y₀).

Có y' = x₂ + x - 2

Phương trình đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 ⇔ y = -1/3 x + 1/3

Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + 3y - 1 = 0 một góc 45⁰ nên ta có

Với

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

Với

x₀ = 0 ⇒ y(x₀ )= 1. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x - 0) + 1 = -2x + 1

x₀ = -1 ⇒ y(x₀ ) = 19/6. Phương trình tiếp tuyến cần tìm là:

y = -2(x + 1) + 19/6 = -2x + 7/6

Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là: ;

y = -2x + 1; y = -2x + 7/6