Cho A = 1 + 1/2 + 1/3 + + 1/100. Chứng minh rằng A không phải
Câu hỏi:
Cho \(A = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + ... + \frac{1}{{100}}\). Chứng minh rằng A không phải là số tự nhiên.
Trả lời:
Để quy đồng ta sẽ chọn mẫu chung tích các thừa số nguyên tố chung và riêng (hay ta tìm BCNN của mẫu)
Ta chọn mẫu chung là 26.3.5.7.9.99
Gọi k1; k2; …; k100 là các thừa số phụ tương ứng, do đó A có dạng:
A = \(\frac{{{k_1} + {k_2} + ... + {k_{100}}}}{{{2^6}.3.5.7.9....99}}\)
Trong 100 phân số của tổng A chỉ có phân số duy nhất \(\frac{1}{{64}}\) chứa 26 nên trong các thừa số phụ chỉ có k64 là số lẻ, còn lại các thừa số phụ đều là số chẵn.
Nên tử số không chia hết cho 2, trong khi mẫu số chia hết cho 2.
Do đó phân số A không phải là số tự nhiên.
