Cho a, b là các số nguyên dương và q = (a^2 + b^2) / (ab + 1)
Câu hỏi:
Cho a, b là các số nguyên dương và q = \(\frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}\) là số nguyên. Chứng minh rằng q là số chính phương.
Trả lời:
Giả sử q không phải là số chính phương
Xét tập S(q) = \(\left\{ {\left. {\left( {a;b} \right) \subset {{\left( {{\mathbb{N}^*}} \right)}^2}} \right|q = \frac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab + 1}}} \right\}\). Theo giả thiết S(q) ≠ ∅ nên theo nguyên lý cực hạn tồn tại cặp số (A; B) thuộc S(q) sao cho A + B nhỏ nhất.
Giả sử A ≥ B.
Xét phương trình q = \(\frac{{{x^2} + {B^2}}}{{Bx + 1}} \Leftrightarrow {x^2} - Bqx + {B^2} - q = 0\)
Rõ ràng A là một nghiệm của phương trình. Giả sử nghiệm còn lại là a.
Theo định lý Vi–ét ta có:
\(\left\{ \begin{array}{l}A + a = Bq\\Aa = {B^2} - q\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = Bq - A\left( 3 \right)\\a = \frac{{{B^2} - q}}{A}\left( 4 \right)\end{array} \right.\)
Đến đây ta có thể đi đến kết luận A ≤ a.
Theo phương trình trên thì A2 ≤ Aa = B2 + 6 ⇔ (A – B)(A + B) ≤ 6.
Từ đó suy ra (A – B)(A + B) ∈ {0;1;2;3;4;5;6} với A ≥ B.
Từ đây kiểm tra được chỉ có cặp A = B = 1 thỏa mãn p là số nguyên dương
Khi đó: p = 8 là số lập phương
Như vậy với mọi số nguyên dương thỏa mãn điều kiện bài toán thì p = 8 (A = B = 1 chỉ là các số nhỏ nhất thỏa mãn tính chất này)
Vậy giả sử ban đầu là sai.
Vậy p là số chính phương.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Xét xem dãy un = 3n – 1 có phải là cấp số nhân hay không? Nếu phải hãy xác định công bội.
Xem lời giải »
Câu 2:
Một vé xem phim có mức giá là 60000 đồng. Trong dịp khuyến mãi cuối năm 2018, số lượng người xem phim tăng lên 45% nên tổng doanh thu cũng tăng 8,75%. Hỏi rạp phim đã giảm giá mỗi vé bao nhiêu % so với giá bán ban đầu?
Xem lời giải »
Câu 3:
Tính giá trị của biểu thức: P = (x – 10)2 – x(x + 80) tại x = 0,87.
Xem lời giải »
Câu 4:
Tính giá trị biểu thức A = 100 – 99 + 98 – 97 + … + 4 – 3 + 2.
Xem lời giải »
Câu 5:
Cho hình vuông ABCD cạnh a. Lấy M thuộc AB, N thuộc AD sao cho AM + AN + MN = 2a. Chứng minh \(\widehat {MCN} = 45^\circ \).
Xem lời giải »
Câu 6:
Cho hình vuông ABCD tâm O, trên đoạn BC lấy điểm E bất kì, trên tia đối của tia CD lấy điểm F sao cho CE = CF.
a) Chứng minh DE = BF.
b) Tia DE cắt BF tại H. Chứng minh \(\widehat {DHF} = 90^\circ \).
c) Gọi I là trung điểm của EF, K là giao điểm của FE và BD. Chứng minh tứ giác AOIK là hình bình hành.
d) Chứng minh A, H, K thẳng hàng.
Xem lời giải »
Câu 7:
Để thành lập các đội tuyển học sinh giỏi khối 9, nhà trường tổ chức thi chọn các môn Toán, Văn và Ngoại ngữ trên tổng số 111 học sinh. Kết quả có: 70 học sinh giỏi Toán, 65 học sinh giỏi Văn và 62 học sinh giỏi Ngoại ngữ. Trong đó, có 49 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Toán, 32 học sinh giỏi cả 2 môn Toán và Ngoại ngữ, 34 học sinh giỏi cả 2 môn Văn và Ngoại ngữ. Hãy xác định số học sinh giỏi cả ba môn Văn, Toán và Ngoại ngữ. Biết rằng có 6 học sinh không đạt yêu cầu cả ba môn.
Xem lời giải »
