Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC). a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH2 = AE.AB.
Câu hỏi:
Cho ∆ ABC nhọn, đường cao AH. Kẻ HE ⊥ AB (E ∈ AB), HF ⊥ AC (F ∈ AC).
a) Chứng minh: ∆AEH ∽ ∆AHB. Từ đó suy ra AH2 = AE.AB.
b) Chứng minh AE. AB = AF.AC.
c) Cho chu vi các ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm. Tính diện tích ∆AEF và ∆ACB biết diện tích ∆ACB lớn hơn diện tích ∆AEF là 25 cm2.
Trả lời:
a) Vì AH là đường cao (giả thiết)
AH ⊥ BC
∆AHB vuông tại H
Lại có HE ⊥ AB (giả thiết)
∆AEH vuông tại E
Do đó
Xét ∆AEH và ∆AHB có:
(chứng minh trên)
chung
Do đó ∆AEH ∽ ∆ AHB (g.g)
⇒ (tỉ số đồng dạng)
Suy ra: AH2 = AE.AB. (1)
b) Vì AH ⊥ BC (chứng minh câu a) nên
Vì HF ⊥ AC (giả thiết) nên
Xét ∆AFH và ∆AHC có
chung
Do đó ∆AFH ᔕ ∆AHC (g.g)
⇒ (tỉ số đồng dạng)
Suy ra: AH2 = AF.AC. (2)
Từ (1) và (2) suy ra: AE. AB = AF.AC
c) Theo b có: AE. AB = AF.AC nên:
Xét ∆AEF và ∆ACB có
chung
Do đó ∆AEF ᔕ ∆ACB (c.g.c)
⇒
Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
(vì chu vi ∆AEF và ∆ACB lần lượt là 20 cm và 30 cm)
(Do SABC – SAEF = 25 cm2)
Vậy SAEF = 5.4 = 20 (cm2)
SABC = 20 + 25 = 45 (cm2).
