Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F, trên AB lấy điểm E sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD
Câu hỏi:
Cho ABC vuông cân tại A. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F, trên AB lấy điểm E sao cho BE = CF. Vẽ hình bình hành BEFD.
a) Chứng minh DC vuông góc với BC.
b) Gọi I là giao điểm EF và BC. Chứng minh .
Trả lời:
a) Ta có
BE = DF (cạnh đối hình bình hành)
BE = CF (gt)
⇒ CF=DF ⇒ tam giác CDF cân tại F
Ta có DF//BE ⇒ DF//AB mà AB ⊥ AC ⇒ DF ⊥ AC
⇒ tam giác CDF vuông cân tại F ⇒
Tam giác ABC vuông cân tại A ⇒
⇒
⇒ DC ⊥ BC (đpcm)
b/ Từ E dựng đường thẳng vuông góc với AB cắt BC tại K
Xét tam giác vuông BEK có:
⇒
⇒ tam giác BEK cân tại E ⇒ BE=KE
Mà BE = CF (gt)
⇒ KE = CF (1)
Ta có: KE ⊥ AB
AC⊥AB
⇒ CF ⊥ AB
⇒ KE // CF (2)
Từ (1) và (2) ⇒ CEKF là hình bình hành
⇒ IE = IF (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)
Xét tam giác vuông AEF có: IE = IF (cmt)
⇒
Mà EF = DB nên .
