Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh a^3/ 1 + b 1+ c + b^3/ 1 + c 1+ a + c^3/ 1 + a 1 + c lớn hơn bằng 3 4
Câu hỏi:
Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.
Chứng minh a3(1+b)(1+c)+b3(1+c)(1+a)+c3(1+a)(1+c)≥34 Trả lời:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:
a3(1+b)(1+c)+b+18+c+18≥33√a3(1+b)(1+c).b+18.c+18=3a4
Tương tự: b3(1+c)(1+a)+c+18+a+18≥33√b3(1+c)(1+a).c+18.a+18=3b4
c3(1+a)(1+c)+c+18+a+18≥33√c3(1+a)(1+c).c+18.a+18=3c4
Suy ra: a3(1+b)(1+c)+b3(1+c)(1+a)+c3(1+a)(1+c)≥34(a+b+c)
a3(1+b)(1+c)+b3(1+c)(1+a)+c3(1+a)(1+c)≥343√abc=34 (BĐT Cô-si)
Vậy a3(1+b)(1+c)+b3(1+c)(1+a)+c3(1+a)(1+c)≥34
Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.
Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:
Câu 1:
Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 3AB = 2AC. Tính sin^ACB,
Xem lời giải »
Câu 2:
Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC.
Xem lời giải »
Câu 3:
Cho C = 5 + 52 + … + 520. Chứng minh rằng C chia hết cho 5, 6, 13.
Xem lời giải »
Câu 5:
Nêu khái niệm của khối đa diện? Khối đa diện cần biểu diễn bao nhiêu hình chiếu. Nếu mặt đáy của hình lăng trụ đáy tam giác đều song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh thì hình chiếu cạnh là hình gì?
Xem lời giải »
Câu 6:
Tìm x biết (x + 2)(x + 2) – (x – 2)(x – 2) = 8x.
Xem lời giải »
Câu 7:
Phân tích đa thức thành nhân tử x4 – 2x3 + 2x – 1.
Xem lời giải »
Câu 8:
Cho . Chứng minh (n là số lẻ).
Xem lời giải »