Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh a^3/ 1 + b 1+ c + b^3/ 1 + c 1+ a + c^3/ 1 + a 1 + c lớn hơn bằng 3 4

Câu hỏi:

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1.

Chứng minh

\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4}

Trả lời:

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

$\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b + 1}{8} + \frac{c + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} . \frac{b + 1}{8} . \frac{c + 1}{8}} = \frac{3 a}{4}$

Tương tự: $\frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c + 1}{8} + \frac{a + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} . \frac{c + 1}{8} . \frac{a + 1}{8}} = \frac{3 b}{4}$

$\frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} + \frac{c + 1}{8} + \frac{a + 1}{8} \geq 3 \sqrt[3]{\frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} . \frac{c + 1}{8} . \frac{a + 1}{8}} = \frac{3 c}{4}$

Suy ra: $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4} (a + b + c)$

$\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4} \sqrt[3]{a b c} = \frac{3}{4}$ (BĐT Cô-si)

Vậy $\frac{a^{3}}{(1 + b) (1 + c)} + \frac{b^{3}}{(1 + c) (1 + a)} + \frac{c^{3}}{(1 + a) (1 + c)} \geq \frac{3}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho ∆ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết 3AB = 2AC. Tính $\sin \hat{A C B}, \tan \hat{A C B}$

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho tam giác ABC ( AB > BC) có AB + BC = 11cm, $\hat{B} = 60 °$ . Bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC là $r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ cm. Tính đường cao AH của tam giác ABC.

Xem lời giải »

Câu 3:

Cho C = 5 + 5² + … + 5²⁰. Chứng minh rằng C chia hết cho 5, 6, 13.

Xem lời giải »

Câu 4:

Cho x + y = 12 và xy = 32. Tính x⁴ + y⁴.

Xem lời giải »

Câu 5:

Nêu khái niệm của khối đa diện? Khối đa diện cần biểu diễn bao nhiêu hình chiếu. Nếu mặt đáy của hình lăng trụ đáy tam giác đều song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh thì hình chiếu cạnh là hình gì?

Xem lời giải »

Câu 6:

Tìm x biết (x + 2)(x + 2) – (x – 2)(x – 2) = 8x.

Xem lời giải »

Câu 7:

Phân tích đa thức thành nhân tử x⁴ – 2x³ + 2x – 1.

Xem lời giải »

Câu 8:

Cho $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = \frac{1}{a + b + c}$ . Chứng minh $\frac{1}{a^{n}} + \frac{1}{b^{n}} + \frac{1}{c^{n}} = \frac{1}{a^{n} + b^{n} + c^{n}}$ (n là số lẻ).

Xem lời giải »

❮ Bài trước Bài sau ❯

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Cho các số dương a, b, c thỏa mãn abc = 1. Chứng minh a^3/ 1 + b 1+ c + b^3/ 1 + c 1+ a + c^3/ 1 + a 1 + c lớn hơn bằng 3 4

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác: