Cho hai hàm f(x) và g(x) có đạo hàm trên [1,4] , thỏa mãn f(1)+g(1)= 4 và g(x)=-f'(x) và f(x)=-xg'(x) với mọi x thuộc [1,4] .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}x\left(1+x^2\right)& khix\ge 3\\ \frac{1}{x-4}& khix<3\end{array}\right.$ . Tích phân $\underset{{\text{e}}^2}{\overset{{\text{e}}^4}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right) }{x}\text{d}x$  bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{x}& khix\ge 1\\ x+1& khix<1\end{array}\right.$ . Tích phân $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}f\left(\sqrt[3]{1-x}\right)\text{d}x=\frac{m}{n}$  ( $\frac{m}{n}$ là phân số tối giản), khi đó $m-2n$  bằng:

Cho hàm số $f\left(x\right)$  liên tục trên R và $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=4$ , $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=6$  . Tính $I=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(\left|2x+1\right|\right)\text{d}x$

Cho hai hàm $f\left(x\right)$  và  $g\left(x\right)$ có đạo hàm trên $\left[1;2\right]$  thỏa mãn $f\left(1\right)=g\left(1\right)=0$  và $\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{{(x+1)}^2}g\left(x\right)+2017x=(x+1)f^{\text{'}}\left(x\right)\\ \frac{x^3}{x+1}{g}^{\text{'}}\left(x\right)+f\left(x\right)=2018x^2\end{array}\right.\text{, }\forall x\in \left[1;2\right].$

          Tính tích phân $I=\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[\frac{x}{x+1}g\left(x\right)-\frac{x+1}{x}f\left(x\right)\right]dx$.

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}{x}^3+x+2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }x<1\\ x+3\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi }x\ge 1\end{array}\right.$ . Tính tích phân $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(3{\sin }^{2}x-1\right)\sin 2x\text{d}x$ .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-1\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x\ge 1\\ x^2\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x<1\end{array}\right.$ . Tính tích phân $\underset{1}{\overset{13}{\int }}f\left(\sqrt{x+3}-2\right)\text{d}x$ .

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}2x-4\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x\ge 2\\ 4-2x\text{\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}khi\hspace{0.17em}}x<2\end{array}\right.$ . Tính tích phân $\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}f\left(3-4{\cos }^{2}x\right)\sin 2x\text{d}x$ .