Cho hàm số f(x)= 1/2x+2 khi 0<=x<=2 và -x+7 khi =

❮ Bài trước Bài sau ❯

---

Câu hỏi:

Cho hàm số $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}x+2& \text{ khi 0}\le \text{x<2}\\ -x+7& \text{ khi 2}\le x<5\end{array}\right.$ . Biết  $I=\underset{1}{\overset{e^2}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx+\underset{\sqrt{3}}{\overset{2\sqrt{6}}{\int }}x.f\left(\sqrt{x^2+1}\right)dx=\frac{a}{b}$với $\frac{a}{b}$  là phân số tối giản. Giá trị của hiệu a-b bằng

A. 77

B. 67

C. 57

D. 76

Trả lời:

Chọn A

$I=\underset{1}{\overset{e^2}{\int }}\frac{f\left(\ln x\right)}{x}dx+\underset{\sqrt{3}}{\overset{2\sqrt{6}}{\int }}x.f\left(\sqrt{x^2+1}\right)dx=I_1+I_2$

Đặt $t=\ln x\Rightarrow dt=\frac{1}{x}dx$ . Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=1\Rightarrow t=0\\ x=e^2\Rightarrow t=2\end{array}\right.$ .

$\Rightarrow I_1=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(t\right)dt=\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(x\right)dx$

Đặt $t=\sqrt{x^2+1}\Rightarrow t^2=x^2+1\Rightarrow 2tdt=2xdx\Rightarrow xdx=tdt$ . Đổi cận $\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}\Rightarrow t=2\\ x=2\sqrt{6}\Rightarrow t=5\end{array}\right.$  .

$\Rightarrow I_2=\underset{2}{\overset{5}{\int }}t.f\left(t\right)dt=\underset{2}{\overset{5}{\int }}x.f\left(x\right)dx$

Do $f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}x+2& \text{ khi 0}\le \text{x<2}\\ -x+7& \text{ khi 2}\le x<5\end{array}\right.$

$\Rightarrow I=I_1+I_2=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(\frac{1}{2}x+2\right)dx+\underset{2}{\overset{5}{\int }}x.\left(-x+7\right)dx=\frac{79}{2}\Rightarrow a=79,b=2$.

Vậy $a-b=77$