Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số có đúng 3 điểm cực trị.

Cho hàm số y = f(x) có đồ thị như hình vẽ bên dưới: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số $h\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m\right|$ có đúng 3 điểm cực trị.

Xét g(x) = f²(x) + f(x) + m, lập bảng biến thiên tìm số cực trị của y = g(x)

Tìm điều kiện để y = h(x) = $\left|g\left(x\right)\right|$ có đúng 3 điểm cực trị.

Xét g(x) = f²(x) + f(x) + m có g’(x) = 2f(x).f’(x) + f’(x) = f’(x)[2f(x) + 1]

g’(x) = 0 ⇔ $\left[\begin{array}{l}f\text{'}\left(x\right)=0\\ 2f\left(x\right)+1=0\end{array}\right.\iff \left[\begin{array}{l}x=1\\ x=3\\ x=a\left(a<0\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}g\left(1\right)=f^2\left(1\right)+f\left(1\right)+m\\ g\left(3\right)=m\\ g\left(a\right)=m-\frac{1}{4}\end{array}\right.$

Bảng biến thiên của hàm số y = g(x)

Dựa vào bảng biến thiên suy ra đồ thị hàm số y = g(x) có 3 điểm cực trị

Suy ra: $h\left(x\right)=\left|f^2\left(x\right)+f\left(x\right)+m\right|$ có 3 điểm cực trị khi và chỉ khi đồ thị hàm số y = g(x) nằm hoàn toàn phía trên trực Ox (kể cả tiếp xúc)

Do đó: g(a) ≥ 0 hay $m-\frac{1}{4}\ge 0\Rightarrow m\ge \frac{1}{4}$.