Cho hình bình hành ABCD. Vẽ AE ⊥ BC tại E, DF ⊥ AB tại F. Biết AE = DF. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thoi.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) $\stackrel{⏜}{AP}=\stackrel{⏜}{BN}$

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật.

c) P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

Cho đa thức R(x) = x² – 2x. Tính giá trị biểu thức $S=\frac{1}{R\left(3\right)}+\frac{1}{R\left(4\right)}+\mathrm{...}+\frac{1}{R\left(2022\right)}+\frac{1}{R\left(2023\right)}$

Cho tam giác ABC. Hai điểm M và N di chuyển sao cho $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Tìm GTLN của a² + b² + c² biết a, b, c thỏa mãn 1 ≤ a, b, c ≤ 2 và a + b + c = 6.

Cho a,b là các số thực dương thoả mãn điều kiện $\left(\sqrt{a}+1\right)\left(\sqrt{b}+1\right)=4$. Tìm min của $P=\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{a}$