Cho hình chóp S.ABC có góc ASB=CSB=60 độ, ASC= 90 độ và SA=SB=a, SC=3a

Câu hỏi:

Cho hình chóp S.ABC có

\hat{A S B} = \hat{C S B} = 60^{0}, \hat{A S C} = 90^{0}

và

S A = S B = a, S C = 3 a

. Tính thể tích V của khối chóp S.ABC

A. $V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{3} .$

V = \frac{a^{3} \sqrt{6}}{12} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{3}}{12} .

V = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .

Trả lời:

Gọi M là trung điểm của

A B \Rightarrow S M ⊥ A B . (1)

Ta có

\{\begin{cases} S A = S B \\ \hat{A S B} = 60^{0} \end{cases} \Rightarrow Δ S A B

đều

\overset{}{\to} \{\begin{cases} A B = a \\ S M = \frac{a \sqrt{3}}{2} \end{cases} .

Tam giác SAC, có $A C = \sqrt{S A^{2} + S C^{2}} = a \sqrt{10} .$

Tam giác SBC, có $B C = \sqrt{S B^{2} + S C^{2} - 2 S B . S C . \cos \hat{B S C}} = a \sqrt{7} .$

Tam giác ABC, có $\cos \hat{B A C} = \frac{A B^{2} + A C^{2} - B C^{2}}{2 A B . A C} = \frac{\sqrt{10}}{5} .$

$\overset{}{\to} C M = \sqrt{A M^{2} + A C^{2} - 2 A M . A C . \cos \hat{B A C}} = \frac{a \sqrt{33}}{2} .$

Ta có $S M^{2} + M C^{2} = S C^{2} = 9 a^{2} \overset{}{\to} Δ S M C$ vuông tại $\overset{}{\to} S M ⊥ M C (2)$ .

Từ $(1)$ và $(2)$ , ta có $S M ⊥ (A B C) .$

Diện tích tam giác $S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} A B . A C . \sin \hat{B A C} = \frac{a^{2} \sqrt{6}}{2} .$

Vậy thể tích khối chop $V_{S A B C} = \frac{1}{3} S_{Δ A B C} . S M = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$ Chọn D.

Cách 2.

Trên cạnh SC lấy điểm D sao cho $S D = a$ .

Dễ dàng suy ra $\{\begin{cases} A B = C D = a, A D = a \sqrt{2} \\ S A = S D = a, A D = a \sqrt{2} \end{cases} \overset{}{\to} \{\begin{cases} Δ A B D vuong can \\ Δ S A D vuong can \end{cases} .$

Lại có

S A = S B = S D = a

nên hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng

(A B D)

là trung điểm I của AD

Ta tính được $S I = \frac{a \sqrt{2}}{2}$ và $S_{Δ A B D} = \frac{1}{2} a^{2} .$

Suy ra $V_{S . A B D} = \frac{1}{3} S_{Δ A B D} . S I = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{12} .$

Ta có $\frac{V_{S . A B D}}{V_{S . A B C}} = \frac{S D}{S C} = \frac{1}{3}$

$\overset{}{\to} V_{S . A B C} = 3 V_{S . A B D} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Cách 3. Phương pháp trắc nghiệm. Cho hình chóp SS.ABC có $\hat{A S B} = α, \hat{B S C} = β, \hat{C S A} = γ$ và $S A = a, S B = b, S C = c .''$ Khi đó ta có: $V_{S . A B C} = \frac{a b c}{6} \sqrt{1 - \cos^{2} α - \cos^{2} β - \cos^{2} γ - 2 \cos α \cos β \cos γ} .$

Áp dụng công thức, ta được $V_{S . A B C} = \frac{a^{3} \sqrt{2}}{4} .$

Xem thêm bài tập Toán có lời giải hay khác:

Câu 1:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và $S A = a \sqrt{2} .$ Tính thể tích V của khối chóp S.ABCD

Xem lời giải »

Câu 2:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác SBC là tam giác vuông cân tại S, $S B = 2 a$ và khoảng cách từ A đến mặt phẳng $(S B C)$ bằng $3 a .$ Tính theo a thể tích V của khối chóp S.ABC