Cho hình vuông ABCD. Lấy M thuộc AB và N thuộc BC sao cho

Cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB ở M và cắt AC ở N. Gọi H là giao điểm của BN và CM.

a) Chứng minh AH vuông góc với BC.

b) Gọi E là trung điểm AH. Chứng minh bốn điểm A, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn và EM là tiếp tuyến của đường tròn (O).

Tính giá trị biểu thức: $\frac{{2\sqrt {15} - 2\sqrt {10} + \sqrt 6 - 3}}{{2\sqrt 5 - 2\sqrt {10} - \sqrt 3 + \sqrt 6 }}$.

Cho nửa đường tròn (O). Đường kính AB = 6 cm. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By cùng phía đối với nửa đường tròn đối với AB. Gọi C là một điểm thuộc tia Ax, kẻ tiếp tuyến CE với nửa đường tròn (E là tiếp điểm), CE cắt By tại D.

a) Chứng minh $\widehat {COD} = 90^\circ$.

b) Chứng minh AEB và COD đồng dạng.

c) Gọi I là trung điểm của CD. Vẽ đường tròn (I) bán kính IC. Chứng minh rằng AB là tiếp tuyến của (I).

Cho tam giác ABC vuông tại A, M là trung điểm của BC. D, E lần lượt là hình chiếu của M trên AB và AC.

a) Tứ giác ADME là hình gì, tại sao?

b) Chứng minh DE = $\frac{1}{2}BC$.

c) Gọi P là trung điểm của BM, Q là trung điểm của MC, chứng minh tứ giác DPQE là hình bình hành. Từ đó chứng minh: tâm đối xứng của hình bình hành DPQE nằm trên đoạn AM.

d) Tam giác vuông ABC ban đầu cần thêm điều kiện gì để hình bình hành DPQE là hình chữ nhật?

Cho B = 1 + 3 + 3² + 3³ + … + 3¹⁰¹. Chứng minh rằng B chia hết cho 13.

Cho A = (2m – 1; m + 3) và B = (–4; 5). Tìm m sao cho A ⊂ B.

Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy D, E, F sao cho $\widehat {EDC}$ = $\widehat {FDB}$= 90° (E khác B). DE, DF cắt BC lần lượt tại M, N. Chứng minh: EF // BC.

Biết x,y là hai số nguyên dương thỏa mãn :3x² – 4xy + 2y² = 3. Tính giá trị của biểu thức M = x²⁰²² + (y – 3)²⁰²².