Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC nhọn, đường cao AH. Trên AH, AB, AC lần lượt lấy D, E, F sao cho \(\widehat {EDC}\) = \(\widehat {FDB}\)= 90° (E khác B). DE, DF cắt BC lần lượt tại M, N. Chứng minh: EF // BC.
Trả lời:
Kẻ BO vuông góc CD, CM vuông góc BD, BO cắt CM tại I
Suy ra: D là trực tâm của ∆BIC hay DI ⊥ BC
Mặt khác, AH ⊥ BC suy ra I, D, A thẳng hàng
Do \(\widehat {EDC}\) = \(\widehat {FDB}\)= 90° nên ED ⊥ DC, DF ⊥ DB
Ta có: ED ⊥ DC, BO ⊥ CD, I ∈ BO nên ED // BI
DF ⊥ DB, CM ⊥ BD, I ∈ CM nên DF // CI
Xét ∆ABI với DE // BI, ta có: \(\frac{{AD}}{{AI}} = \frac{{AE}}{{AB}}\)(hệ quả của định lý Thalès)
Xét ∆ACI với DF // CI, ta có: \(\frac{{AD}}{{AI}} = \frac{{AF}}{{AC}}\)(hệ quả của định lý Thalès)
Suy ra: \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\)
Xét tam giác ABC có \(\frac{{AE}}{{AB}} = \frac{{AF}}{{AC}}\) nên EF // BC (định lý Thalès đảo).
