Cho tam giác ABC có trọng tâm G và hai trung tuyến AM, BN. Biết AM = 15, BN = 12 và tam giác CMN có diện tích là . Tính độ dài đoạn thẳng MN.

$$\begin{gathered} S_{ABC}=\frac{1}{2}.AC.BC.\sin \widehat{ACB} \\ {S}_{CMN}=\frac{1}{2}.CM.CN.\sin \widehat{ACB}=\frac{1}{2}.\frac{1}{2}AC.\frac{1}{2}BC.\sin \widehat{ACB}=\frac{1}{4}{S}_{ABC} \end{gathered}$$

Suy ra: S_ABC = 4S_CMN = $60\sqrt{3}$

$S_{ABG}=\frac{2}{3}{S}_{ABM}=\frac{2}{3}.\frac{1}{2}{S}_{ABC}=\frac{1}{3}.60\sqrt{3}=20\sqrt{3}$

Lại có: $S_{ABG}=\frac{1}{2}.AG.BG.\sin \widehat{AGB}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}AM.\frac{2}{3}BN.\sin \widehat{AGB}=40.\sin \widehat{AGB}$

⇒ $\sin \widehat{AGB}=\frac{20\sqrt{3}}{40}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Hay: $\widehat{AGB}=60°$

Ta có: AB² = AG² + GB² – 2.AG.GB.cos$\widehat{AGB}$

$={\left(\frac{2}{3}.15\right)}^2+\left(\frac{2}{3}.12\right)-2.\frac{2}{3}\mathrm{.15.}\frac{2}{3}\mathrm{.12.}\cos 60°=84$

⇒ $AB=2\sqrt{21}$

M, N là trung điểm BC, AC nên MN là đường trung bình của tam giác ACB

Nên $MN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}.2\sqrt{21}=\sqrt{21}$

Vậy $MN=\sqrt{21}$