Cho tam giác cân ABC (AB = AC), phân giác BD và CE. Gọi I là trung điểm của BC, J là trung điểm của ED, O là giao điểm của BD và CE.

Cho đường tròn (O) đường kính AB. Qua trung điểm E của OB kẻ một đường thẳng vuông góc với OB, cắt đường tròn (O) ở M và N. Kẻ dây MP song song với AB. Gọi I là điểm chính giữa của cung nhỏ PM. Gọi K là giao điểm của OI và PM. Chứng minh rằng:

a) $\stackrel{⏜}{AP}=\stackrel{⏜}{BN}$

b) Tứ giác OKME là hình chữ nhật.

c) P, O, N thẳng hàng và KE // PN.

Cho đa thức R(x) = x² – 2x. Tính giá trị biểu thức $S=\frac{1}{R\left(3\right)}+\frac{1}{R\left(4\right)}+\mathrm{...}+\frac{1}{R\left(2022\right)}+\frac{1}{R\left(2023\right)}$

Cho tam giác ABC. Hai điểm M và N di chuyển sao cho $\overrightarrow{MN}=2\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}$. Chứng minh MN luôn đi qua một điểm cố định.

Cho đường tròn tâm O bán kính R và một điểm A nằm ngoài đường tròn. Qua A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (B là tiếp điểm). Vẽ tia Ax nằm giữa tia AB và tia AO cắt đường tròn (O) tại hai điểm C và D (C nằm giữa A và D). Gọi M là trung điểm của dây CD, kẻ BH vuông góc với AO tại H.

a, Tính tích OH.OA theo R.

b, Chứng minh 4 điểm A, B, M, O cùng thuộc một đường tròn.

c, Gọi E là giao điểm của OM với HB. Chứng minh ED là tiếp tuyến của đường tròn (O;R).

Chứng minh đẳng thức: $\left(\frac{\tan x}{1-\tan {\left(x\right)}^2}\right)\frac{\cot {\left(x\right)}^2-1}{\cot \left(x\right)}=1$

Số học sinh khối 6 của một trường trong khoảng từ 400 đến 500 em. Nếu xếp hàng 7 em thì thừa ra 3 em, còn nếu xếp hàng 6 em, 8 em hoặc 10 em thì vừa đủ. Hỏi số học sinh khối 6 của trường là bao nhiêu em?