Chứng minh rằng A = 1.5 + 2.6 + 3.7 + … + 2023.2027 chia hết cho 11, 23 và 2023.

Ta thấy các số hạng có dạng tổng quát là k.(k + 4) = k² + 4k

Do đó: A = 1.5 + 2.6 + 3.7 + … + 2023.2027

A = (1² + 2² + 3² + … + 2023²) + 4.(1 + 2 + 3 +… + 2023)

Mà ta có công thức: 1² + 2² + 3² + … + n² = $\frac{n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}$

Nên A = $\frac{\mathrm{2023.2024.4047}}{6}+4.\frac{2023.\left(1+2023\right)}{2}=\frac{\mathrm{2023.2024.4047}}{6}+\mathrm{2.2024.2023}$

Ta thấy: 2024 chia hết cho cả 11, 23 nên $\frac{\mathrm{2023.2024.4047}}{6}$ chia hết cho 11, 23, 2023 đồng thời 2.2024.2023 chia hết cho 11, 23, 2023.

Vậy A chia hết cho 11, 23, 2023.