Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ thì n(2n + 7)(7n + 1) chia hết cho 6

Câu hỏi:

Trả lời:

Vì (7n + 1) - n = 6n + 1 là số lẻ nên trong hai số 7n + 1 và n có đúng một số chẵn

⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 2 (1)

Xét 3 TH:

+) n = 3k (k ∈ ℕ): Khi đó n ⋮⋮ 3 ⇒⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮⋮ 3

+) n = 3k + 1 (k ∈ ℕ): Khi đó 2n + 7 = 2(3k + 1) + 7 = 6k + 9 ⋮ 3

⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 3

+) n = 3k + 2 (k ∈ ℕ): Khi đó 7n + 1 = 7(3k + 2) + 1 = 21k + 15 ⋮ 3

⇒ A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 3

Từ đó suy ra A = n(2n + 7)(7n + 1) ⋮ 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra A ⋮ 6 (đpcm)

Câu 1:

Cho x + y = 15. Tìm min, max $B = \sqrt{x - 4} + \sqrt{y - 3}$

Câu 2:

Cho x,y,z là các số nguyên thỏa mãn: (x - y)(y - z)(z – x) = x + y + z. Chứng minh x + y + z chia hết cho 27.

Câu 3:

Cho x, y, z thỏa mãn đk x + y + z = a. Tìm GTNN của $P = (1 + \frac{a}{x}) (1 + \frac{a}{y}) (1 + \frac{a}{z})$

Câu 4:

Cho x + 3y – 4 = 0, tính x³ - x² + 9x²y - 9y² + 27xy² + 27y³ - 6xy

Câu 5:

Chứng tỏ rằng A = 1 + 4 + 4² + … + 4²⁰²¹ chia hết cho 21.

Câu 6:

Chứng minh rằng A = 3^{5n + 2} + 3^{5n + 1} – 3⁵ⁿ chia hết cho 11 với mọi n ∈ ℕ

Câu 7:

Chứng minh rằng A = 2 + 2² + 2³ + … + 2⁶⁰ chia hết cho 3 và 7.

Câu 8:

Chứng minh rằng số dư trong phép chia một số nguyên tố cho 30 chỉ có thể là 1 hoặc là số nguyên tố. Khi chia cho 60 thì kết quả ra sao

Các dạng bài tập Toán lớp 12