Hàm số y=log a x và y=log b x có đồ thị như hình vẽ bên

Câu hỏi:

Hàm số $y={\log }_{a}x$ và $y={\log }_{b}x$ có đồ thị như hình vẽ bên:

Đường thẳng y = 3 cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ $x_1,x_2$. Biết rằng $x_2=2x_1$, giá trị của $\frac{a}{b}$ bằng

A. $\frac{1}{2}$

B. $\sqrt{3}$

C. $2$

D. $\sqrt[3]{2}$

Trả lời:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy $x_1$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ${\log }_b{x}_1=3\iff x_1=b^3$

Và $x_2$ là nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm ${\log }_a{x}_2=3\iff x_2=a^3$

Theo đề bài ta có:

$$\begin{gathered} x_2=2x_1\Rightarrow a^3=2b^3 \\ \iff \frac{a^3}{b^3}=2\iff \frac{a}{b}=\sqrt[3]{2} \end{gathered}$$

Đáp án cần chọn là: D.