Lý thuyết hình nón, khối nón hay, chi tiết nhất - Toán lớp 12

Lý thuyết hình nón, khối nón hay, chi tiết nhất

Tài liệu Lý thuyết hình nón, khối nón hay, chi tiết nhất Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về hình nón, khối nón từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

1) Mặt nón tròn xoay

    + Trong mặt phẳng (P), cho 2 đường thẳng d, Δ cắt nhau tại O và chúng tạo thành góc β với 0 < β < 90º. Khi quay mặt phẳng (P) xung quanh trục Δ với góc β không thay đổi được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O (hình 1).

    + Người ta thường gọi tắt mặt nón tròn xoay là mặt nón.

Đường thẳng Δ gọi là trục, đường thẳng d được gọi là đường sinh và góc 2β gọi là góc ở đỉnh.

2) Hình nón tròn xoay

    + Cho ΔOIM vuông tại I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OIM tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) (hình 2).

    + Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là đường cao và OM gọi là đường sinh của hình nón.

    + Hình tròn tâm I, bán kính r = IM là đáy của hình nón.

3) Công thức diện tích và thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh:

    + Diện tích đáy (hình tròn):

    + Diện tích toàn phần hình tròn:

    + Thể tích khối nón:

4) Tính chất:

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Mặt phẳng cắt mặt nón theo 2 đường sinh thì thiết diện là tam giác cân.

    + Mặt phẳng tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh, trong trường hợp này, người ta gọi đó là mặt phẳng tiếp diện của mặt nón.

- Nếu cắt mặt nón tròn xoay bởi mặt phẳng không đi qua đỉnh thì có các trường hợp sau xảy ra:

    + Nếu mặt phẳng cắt vuông góc với trục hình nón thì giao tuyến là một đường tròn.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 2 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.

    + Nếu mặt phẳng cắt song song với 1 đường sinh hình nón thì giao tuyến là 1 đường parabol.

Tìm bán kính, đường sinh, diện tích, thể tích của hình nón

Cho hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy R và đường sinh là l thì có:

    + Diện tích xung quanh: S_xq = πRl

    + Diện tích đáy (hình tròn): S_đ = πR²

    + Diện tích toàn phần hình tròn: S = S_đ + S_xq = π.r.l+πr²

    + Thể tích khối nón:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hình nón có bán kính đáy là 4a, chiều cao là 3a. Tính đường sinh, diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình nón trên.

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA có: h=SO=3a;r=AO=4a

Diện tích xung quanh: S_xq=πRl=π.4a.5a=20πa²

Diện tích toàn phần: S_tp= πRl+πR²=20πa²+25πa²=45πa²

Thể tích của hình nón là:

Bài 2: Cho hình nón có đường sinh l, góc giữa đường sinh và mặt phẳng đáy là 30º. Tính diện tích xung quanh của hình nón

Hướng dẫn:

Xét tam giác SOA vuông tại O có:

Diện tích xung quanh:

Bài 3: Một khối nón có thể tích bằng 30 π, nếu giữ nguyên chiều cao và tăng bán kính khối nón đó lên 2 lần thì thể tích của khối nón mới bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

là thể tích của khối nón ban đầu

⇒ Thể tích của khối nón lúc sau là: