Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau - Toán lớp 12

---

Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

Với Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Khoảng cách từ 1 điểm đến 1 đường thẳng; Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

- Muốn tìm khoảng cách từ một điểm M đến đường thẳng d: có 2 cách sau:

+ Cách 1: Tìm hình chiếu H của điểm đó đến d => MH là khoảng cách từ A đến d

+ Cách 2. công thức (với u→ là vectơ chỉ phương của d và M₀ là một điểm thuộc d)

- Muốn tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau d (u→ là vectơ chỉ phương của d và d đi qua M₀) và d’ ((u') ⃗ là vectơ chỉ phương của d’ và d’ đi qua M₀') ta làm như sau:

+ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song d’

+ Khoảng cách giữa d và d’ chính là khoảng cách từ điểm M₀' đến mặt phẳng (P) d( d,d’) = d(M₀',(P))

+ Hoặc dùng công thức:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ: 1

Tìm khoảng cách của A(-2; 1; 3) đến đường thẳng

A.

B.

C. 2

D.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng d đi qua B(0;1; -1) và có vectơ chỉ phương

Ta có:

Vậy

Chọn B.

Ví dụ: 2

Cho mặt phẳng (P): 3x – 2y – z + 5 = 0 và đường thẳng Tính khoảng cách giữa d và (P)

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương và đi qua điểm M₀(1;7;3)

Ta có:

Vậy d // (P)

Chọn D.

Ví dụ: 3

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

C.

D. 1

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Đường thẳng d có vecto chỉ phương là:

Đường thẳng d’ có vecto chỉ phương là: .

- Gọi (P) là mặt phẳng chứa d và song song với d’. (P) nhận vectơ pháp tuyến là

M₀(1;-1;1) thuộc d cũng thuộc (P) nên phương trình mặt phẳng (P) là:

- 1(x-1) – 2(y+1) + 1(z-1) = 0 hay x + 2y – z + 2 = 0

- d’ đi qua M₀'(2;-2;3)

Vậy

Cách 2:

Ta có:

Vậy

chọn A.

Ví dụ: 4

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( -1; 2; 1). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 1; 0; - 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là:

Chọn C.

Ví dụ: 5

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; - 2) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d’ đi qua B( 2; -1; 2) và có vecto chỉ phương

=> Khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ: 6

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho 3 điểm A( 0; 1; 2); B( -2;0; 1) và C( 2; 1; -3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng BC đi qua B( -2; 0;1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=> Khoảng cách từ điể A đến đường thẳng BC là:

Chọn A.

Ví dụ: 7

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(1; 2; -1); B( -2; 1; 1) C( 2; 1; 3) và D( -1; 0; 5). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng.

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng AB: đi qua A(1;2; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có cùng vecto chỉ phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD.

=> AB// CD nên d( AB; CD) = d( A; CD)

+ Ta có:

Chọn C.

Ví dụ: 8

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(-1; 0;2) và đường thẳng d: . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là ?

A. m= -1 hoặc m= (- 2)/3

B. m= - 1 hoặc m= 1/7

C. m= 1 hoặc m= - 1

D. m= 1 hoặc m= 1/7

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 2; 1; 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=

Chọn B.

Ví dụ: 9

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A( 1; m;2) và đường thẳng . Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là 2?

A. m= 2

B. m= - 1

C. m= 3

D. m= - 4

Hướng dẫn giải

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; 0) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1:

Tìm khoảng cách của A( 1;-2; 1) đến đường thẳng

A.

B.

C. 2

D.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua B(2;0; -1) và có vectơ chỉ phương

Ta có:

Vậy

Chọn B.

Câu 2:

Cho mặt phẳng (P): x + 2y – z + 1= 0 và đường thẳng . Tính khoảng cách giữa d và (P)

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến

Đường thẳng d có vecto chỉ phương và đi qua điểm M₀ (1;0;3)

Ta có:

Vậy d // (P)

Chọn C.

Câu 3:

Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

Đường thẳng d đi qua A( 2; -1; 1) và có vecto chỉ phương .

Đường thẳng d’ đi qua B( 0; -2; 1) và có vecto chỉ phương

Ta có:

Và

Vậy

Chọn D.

Câu 4:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho đường thẳng và điểm A( 0;-2; 3). Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua điểm M( 0;1; -1) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

=> Khoảng cách từ A đến đường thẳng d là:

Chọn A.

Câu 5:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai đường thẳng . Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng đã cho?

A.

B.

C.

D. Tất cả sai

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua A( 1;0; 0) và có vecto chỉ phương

+ Đường thẳng d’ đi qua B(0;1; 2) và có vecto chỉ phương

=> Khỏang cách giữa hai đường thẳng đã cho là:

Chọn D.

Câu 6:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho hai điểm A( 2; -1; -1); B(2; 3; 1). Tính khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB?

A.

B.

C.

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Đường thẳng AB đi qua A( 2; -1; -1) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Ta có:

=>Khoảng cách từ điểm O đến đường thẳng AB là:

Chọn A.

Câu 7:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho bốn điểm A(0; 0; 2); B(1; 2; -1) C( 2; 1; 3) và D( 4; 5; -3). Tính khoảng cách hai đường thẳng AB và CD? biết rằng ba điểm A, C và D không thẳng hàng.

A.

B.

C.

D.

Lời giải:

+ Đường thẳng AB: đi qua A(0;0; 2) và nhận vecto làm vecto chỉ phương

+ Đường thẳng CD đi qua C( 2; 1; 3) và nhận vecto làm vecto chỉ phương.

+ Hai đường thẳng AB và CD có hai vecto chỉ phương là cùng phương và điểm A không thuộc đường thẳng CD.

=> AB// CD nên d( AB; CD) = d( A; CD)

+ Ta có:

Chọn C.

Câu 8:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(1; 1; 1) và đường thẳng . Tìm m để khoảng cách từ A đến d là ?

A. m= -1

B. m= 0

C. m= - 2

D. m= 1

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 1;2; 2) và có vecto chỉ phương

+ Ta có;

+ Theo đầu bài ta có: d( A; d)=

Chọn B.

Câu 9:

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; cho điểm A(m; 0; 2) và đường thẳng . Tìm m để khoảng cách từ A đến đường thẳng d là ?

A. m= 2 hoặc m=1

B. m= -1 hoặc m= 0

C. m= 3 hoặc m= 0

D. m= - 4 hoặc m= -1

Lời giải:

+ Đường thẳng d đi qua M( 1; 2; - 1) và có vecto chỉ phương

+ Ta có:

+ Để khoảng cách từ A đến d là 2 thì:

Chọn B.