Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều chọn lọc, có đáp án - Toán lớp 12
Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều chọn lọc, có đáp án
Với Bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều chọn lọc, có đáp án Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Khối đa diện lồi và khối đa diện đều từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Khối đa diện lồi là khối đa diện mà nếu đoạn thẳng nối bất kì hai điểm của nó thì luôn nằm trong nó.
2. Một khối đa diện đều là khối đa diện lồi thỏa mãn các tính chất sau đây:
+ Tất cả các mặt của nó là các đa giác đều, bằng nhau.
+ Mỗi đỉnh là giao của một số mặt bằng nhau (cũng là giao của số cạnh như nhau).
3. Khối đa diện đều loại {p; q} là khối đa diện mà mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh và mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt
4. Định lí: Có đúng năm loại khối đa diện đều là:
Loại {3; 3}: Khối tứ diện đều
Loại {4; 3}: Khối lập phương
Loại {3; 4}: Khối bát diện đều
Loại {5; 3}: Khối 12 mặt đều
Loại {3; 5}: Khối 20 mặt đều.
| Khối đa diện đều | Loại | Số đỉnh | Số cạnh | Số mặt | Tâm đối xứng | Mặt đối xứng |
| Tứ diện đều | {3; 3} | 4 | 6 | 4 | 0 | 6 |
| Lập phương | {4; 3} | 8 | 12 | 6 | 1 | 9 |
| Bát diện đều | {3; 4} | 6 | 12 | 8 | 1 | 9 |
| Mười hai mặt đều | {5; 3} | 20 | 30 | 12 | 1 | 15 |
| Hai mươi mặt đều | {3; 5} | 12 | 30 | 20 | 1 | 15 |
Công thức tính: pM = 2C = qD hoặc công thức Euler: D – C + M = 2.
B. Bài tập vận dụng
Bài tập về khối đa diện lồi và khối đa diện đều
Bài 1: Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số cạnh có thể là một số lẻ?
A. Khối chóp; B. Khối tứ diện;
C. Khối hộp; D. Khối lăng trụ.
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
+ Khối chóp n- giác có tổng số cạnh bằng 2n
+ Khối tứ diện có 6 cạnh
+ Khối hộp có 12 cạnh
+ Khối lăng trụ n-giác với n là một số lẻ thì số cạnh là 3n, là một số lẻ.
Ví dụ: xét lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có 9 cạnh là một số lẻ.
Bài 2: Trong các khối đa diện dưới đây, khối nào có số mặt luôn là số chẵn?
A. Khối lăng trụ; B. Khối chóp;
C. Khối chóp cụt; D. Khối đa diện đều.
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
+ Khối lăng trụ n-giác với n là số lẻ có số mặt bằng n + 2 là một số lẻ
Ví dụ: Lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có số mặt là 5.
+ Khối chóp n-giác với n là số chẵn, thì số mặt của nó là n +1 là một số lẻ
Ví dụ: Hình chóp S.ABCD có đáy là tứ giác và số mặt là 5.
+ Khối chóp cụt: Tương tự như khối lăng trụ
Ví dụ: Khối chóp cụt tam giác có số mặt là 5.
Trong không gian ba chiều, có đúng 5 khối đa diện đều, chúng là các khối đa diện duy nhất có tất cả các mặt, các cạnh và các góc ở đỉnh bằng nhau. Các khối này đều có số mặt là chẵn.
Bài 3: Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. Khối tứ diện đều có 6 cạnh
B. Khối lập phương có 12 cạnh
C. Số cạnh của một khối chóp là
D. Khối 8 mặt đều có 8 cạnh chẵn
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Vì khối 8 mặt đều có tất cả 12 cạnh.
Bài 4: Trong một khối đa diện lồi với các mặt là các tam giác, nếu gọi C là số cạnh và M là số mặt thì hệ thức nào sau đây đúng?
A. 2M = 3C B. 3M = 2C C. 3M = 5C D. 2M = C
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Vì mỗi mặt là tam giác và có M mặt, nên số cạnh là 3M. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên C=3M/2. Vậy 2C = 3M.
Bài 5: Trong một khối đa diện lồi mà mỗi đỉnh chung của ba cạnh, nếu gọi C là số cạnh và Đ là số đỉnh thì hệ thức nào sau đây đúng?
A. 3Đ = 2C B. 3Đ = C C. 4Đ = 3C D. C = 2Đ
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Vì có Đ đỉnh, mà mỗi đỉnh có 3 cạnh chung nên số cạnh 3Đ. Mà cứ một cạnh thì có 2 đỉnh nên ta có C=3Đ/2.
Vậy 2C = 3Đ.
Bài 6: Một khối đa diện lồi 10 đỉnh, 7 mặt. Vậy khối đa diện này có mấy cạnh?
A. 12 B. 15 C. 18 D. 20
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Áp dụng định lí Ơle: Đ-C+M=2⇔10-C+7=2⇔C=15.
Bài 7: Khối 12 mặt đều {mỗi mặt là ngũ giác đều} có mấy cạnh?
A. 16 B. 18 C. 20 D. 30
Lời giải:
Đáp án :D
Giải thích :
Vì mỗi mặt là ngũ giác đều và có M mặt {M=12}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên:
Bài 8: Khối 20 mặt đều {mỗi mặt là tam giác đều} có mấy cạnh?
A. 16 B. 18 C. 20 D. 30
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Vì mỗi mặt là tam giác đều và có M mặt {M=20}. Nhưng mỗi cạnh là cạnh chung của đúng hai mặt nên ta có:
Bài 9: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau;
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau;
C. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh bằng số đỉnh
D. Tồn tại một hình đa diện có số cạnh và số mặt bằng nhau
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
A. Số đỉnh và số mặt của một hình đa diện luôn bằng nhau. Mệnh đề sai vì
Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C': Có 5 mặt nhưng có 6 đỉnh.
B. Tồn tại hình đa diện có số đỉnh và số cạnh bằng nhau. Là mệnh đề đúng
Ví dụ: Hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác
C, D không thể xảy ra. Nên mệnh đề sai
Bài 10: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
Số các cạnh của hình đa diện luôn:
A. Lớn hơn hoặc bằng 6 B. lớn hơn 6
C. lớn hơn 7 D. lớn hơn hoặc bằng 8
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì cạnh của nó bằng 6.
Bài tập về khối đa diện lồi và khối đa diện đều (phần 2)
Bài 1: Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Lớn hơn hoặc bằng 4 B. lớn hơn 4
C. lớn hơn 5 D. lớn hơn hoặc bằng 5
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Ví dụ hình chóp tam giác hoặc hình tứ diện thì số mặt của nó bằng 4.
Bài 2: Cho đa diện (H) có tất cả các mặt đều là tam giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tổng các mặt của (H) luôn là một số chẵn
B. Tổng các mặt của (H) luôn gấp đôi tổng số đỉnh của (H)
C. Tổng số các cạnh của (H) là một số không chia hết cho 3
D. Tổng số các cạnh của (H) luôn gấp đôi tổng số các mặt của (H)
Lời giải:
Đáp án : A
Giải thích :
Gọi tổng số mặt của (H) là M và tổng số các cạnh của (H) là C.
Ta có: 3M = 2C. Suy ra M là một số chẵn.
Ví dụ: Xét hình tứ diện ABCD
+ Tổng các mặt là 4 (chẵn)
+ Tổng các mặt là 4, tổng đỉnh là 4. Như vậy, tổng các mặt của không thể gấp đôi tổng số đỉnh của, nên nó là mệnh đề sai.
+ Tổng các cạnh là 6, số này chia hết cho 3. Như vậy câu C sai.
+ Tổng số cạnh là 6, tổng các mặt là 4. Như vậy không thể tổng các cạnh gấp đôi tổng các mặt.
Bài 3: Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số cạnh gấp đôi số đỉnh
A. Khối 20 mặt đều B. Khối lập phương
C. Khối bát diện đều D. Khối 12 mặt đều
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Khối bát diện đều có cạnh là 12 và có số đỉnh là 6.
Bài 4: Trong các loại khối đa diện đều sau, tìm khối đa diện có số đỉnh và số mặt bằng nhau
A. Khối 12 mặt đều B. Khối lập phương
C. Khối bát diện đều D. Khối tứ diện đều
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Khối tứ diện đều có số mặt là 4 và số đỉnh là 4.
Bài 5: Cho đa diện (H) có tất cả các mặt đều là tứ giác. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tổng số các cạnh của (H) luôn bằng tổng số các mặt của (H)
B. Tổng các mặt của (H) luôn bằng tổng số các đỉnh của (H)
C. Tổng số các cạnh của (H) luôn là một số chẵn
D. Tổng số các mặt của (H) luôn là một số lẻ.
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Gọi tổng số các mặt của (H) là M và tổng số các cạnh của (H) là C.
Ta có: 4M = 2C ⇒ C = 2M. Suy ra C là một số chẵn.
Ta có thể kiểm nghiệm như sau: Xét hình lập phương ABCD.A'B'C'D'
+ Tổng các cạnh là 12, tổng các mặt là 6. Như vậy đáp án A sai.
+ Tổng các mặt là 6, tổng các đỉnh là 8. Như vậy đáp án B sai.
+ Tổng các mặt là 6 (chẵn). Như vậy đáp án D sai.
Bài 6: Mỗi đỉnh của bát diện đều là đỉnh chung của mấy cạnh?
A. 3 B. 4 C. 6 D. 5
Lời giải:
Đáp án : B
Giải thích :
Ta thấy mỗi đỉnh là đỉnh chung của 4 cạnh.
Ví dụ: Xét đỉnh B, thì B là đỉnh chung của 4 cạnh: BA, BS, BC, BS'.
Bài 7: Cho khối đa diện đều. Khẳng định nào sau đây sai
A. Số đỉnh của khối lập phương bằng 8
B. Số mặt của khối tứ diện đều bằng 4
C. Khối bát diện đều là loại {4; 3}
D. Số cạnh của bát diện đều bằng 12.
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Khối bát diện đều là loại {3;4}
Bài 8: Cho khối chóp có đáy là n-giác. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số mặt của khối chóp là 2n
B. Số cạnh của khối chóp là n+2
C. Số đỉnh bằng số mặt và bằng n+1
D. Số đỉnh của khối chóp là 2n+1
Lời giải:
Đáp án : C
Giải thích :
Bài 9: Khối đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là:
A. 12 B. 30 C. 8 D. 20
Lời giải:
Đáp án : D
Giải thích :
Đa diện lồi đều có số mặt nhiều nhất là đa diện 20 mặt và nó có 30 cạnh.
Bài 10: Trong các mệnh đề sau mệnh đề nào là đúng?
A. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các cạnh bằng nhau
B. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều
C. Khối đa diện đều là khối đa diện có tất cả các mặt là các đa giác đều bằng nhau và các cạnh bằng nhau
D. Có vô số khối đa diện đều lồi không có cùng số cạnh
Lời giải:
Đáp án : C
