Lý thuyết Cực trị hàm số - Toán lớp 12

Lý thuyết Cực trị hàm số

Tài liệu Lý thuyết Cực trị hàm số Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Cực trị hàm số từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

1. Định nghĩa:

    Cho hàm số y = f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a; b) (có thể a là -∝; b là +∝) và điểm x_o ∈ (a; b) .

    - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) < f(x_o) với mọi x ∈ (x_o - h; x_o + h) và x ≠ x_o thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại x_o .

    - Nếu tồn tại số h > 0 sao cho f(x) > f(x_o) với mọi x ∈ (x_o - h; x_o + h) và x ≠ x_o thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x_o .

2. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị:

    Giả sử hàm số y = f(x) liên tục trên K = (x_o - h; x_o + h) và có đạo hàm trên K hoặc trên K \ {x_o}, với h > 0 .

    - Nếu f'(x) > 0 trên khoảng (x_o - h; x_o) và f'(x) < 0 trên (x_o; x_o + h) thì x_o là một điểm cực đại của hàm số f(x).

    - Nếu f'(x) < 0 trên khoảng (x_o - h; x_o) và f'(x) > 0 trên (x_o; x_o + h) thì x_o là một điểm cực tiểu của hàm số f(x).

    Minh họa bằng bảng biến thiến

* Chú ý.

    - Nếu hàm số y = f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x_o thì x_o được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số; f(x_o) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số, kí hiệu là f_CĐ(f_CT) , còn điểm M(x_o; f(x_o)) được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

    - Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

B. Kĩ năng giải bài tập

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

    - Quy tắc 1:

    Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

    Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

    Bước 3. Lập bảng biến thiên.

    Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

    - Quy tắc 2:

    Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

    Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu x_i (i = 1; 2; 3;...) là các nghiệm của nó.

    Bước 3. Tính f"(x) và f"(x_i).

    Bước 4. Dựa vào dấu của f"(x_i) suy ra tính chất cực trị của điểm x_i.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

    Ta có y'= 3ax² + 2bx + c

    - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b² - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : .

    - Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

    Hoặc sử dụng công thức .

    - Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

    Cho hàm số: y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

    (C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt .

    Khi đó ba điểm cực trị là: với Δ = b² - 4ac

    Độ dài các đoạn thẳng: .

    Các kết quả cần ghi nhớ:

    - ΔABC vuông cân ⇔ BC² = AB² + AC²

    - ΔABC đều ⇔ BC² = AB²

    - , ta có:

    -

    - Bán kính đường tròn ngoại tiếp ΔABC là

    - Bán kính đường tròn nội tiếp ΔABC là

    - Phương trình đường tròn ngoại tiếp ΔABC là:

C. Kĩ năng sử dụng máy tính

Ví dụ 1: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số: y = x³ + 3x² - x + 2

Hướng dẫn:

    Bấm máy tính: MODE 2

Ví dụ 2: Tìm đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ( nếu có ) của đồ thị hàm số: y = x³ - 3x² + m²x + m

Hướng dẫn:

    Bấm máy tính: MODE 2

    Ta có:

    Vậy đường thẳng cần tìm: