X

Các dạng bài tập Toán lớp 12

Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số - Toán lớp 12


Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

Tài liệu Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

Lý thuyết tổng hợp chương Ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số

A. Tóm tắt các kỹ năng cơ bản

** SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

1. Lập bảng xét dấu của một biểu thức P(x)

    Bước 1. Tìm nghiệm của biểu thức P(x), hoặc giá trị của x làm biểu thức P(x) không xác định.

    Bước 2. Sắp xếp các giá trị của x tìm được theo thứ tự từ nhỏ đến lớn.

    Bước 3. Sử dụng máy tính tìm dấu của P(x) trên từng khoảng của bảng xét dấu.

2. Xét tính đơn điệu của hàm số y = f(x) trên tập xác định

    Bước 1. Tìm tập xác định D.

    Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x).

    Bước 3. Tìm nghiệm của f'(x) hoặc những giá trị x làm cho f'(x) không xác định.

    Bước 4. Lập bảng biến thiên.

    Bước 5. Kết luận.

3. Tìm điều kiện của tham số m để hàm số y = f(x) đồng biến, nghịch biến trên khoảng (a; b) cho trước.

    Cho hàm số y = f(x, m) có tập xác định D, khoảng (a; b) ⊂ D:

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' ≤ 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' ≥ 0, ∀ x ∈ (a; b)

* Chú ý.

    Riêng hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải thì :

    - Hàm số nghịch biến trên (a; b) ⇔ y' < 0, ∀ x ∈ (a; b)

    - Hàm số đồng biến trên (a; b) ⇔ y' > 0, ∀ x ∈ (a; b)

** CỰC TRỊ HÀM SỐ

1. Quy tắc tìm cực trị của hàm số

    - Quy tắc 1:

    Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

    Bước 2. Tính f'(x) . Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

    Bước 3. Lập bảng biến thiên.

    Bước 4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

    - Quy tắc 2:

    Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

    Bước 2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) và ký hiệu xi (i = 1; 2; 3;...) là các nghiệm của nó.

    Bước 3. Tính f"(x) và f"(xi).

    Bước 4. Dựa vào dấu của f"(xi) suy ra tính chất cực trị của điểm xi.

2. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm số bậc ba y = ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

    Ta có y'= 3ax2 + 2bx + c

    - Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị khi phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ b2 - 3ac > 0. Khi đó đường thẳng qua hai điểm cực trị đó là : Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    - Bấm máy tính tìm ra đường thẳng đi qua hai điểm cực trị :

    Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Hoặc sử dụng công thức Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    - Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bậc ba là:

    Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Kỹ năng giải nhanh các bài toán cực trị hàm trùng phương.

    Cho hàm số: y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0) có đồ thị là (C).

    Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    (C) có ba điểm cực trị y' = 0 có 3 nghiệm phân biệt Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    Khi đó ba điểm cực trị là: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải với Δ = b2 - 4ac

    Độ dài các đoạn thẳng: Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

** GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

1. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sử dụng bảng biến thiên

    - Bước 1. Tính đạo hàm f'(x).

    - Bước 2. Tìm các nghiệm của f'(x) và các điểm f'(x) trên K.

    - Bước 3. Lập bảng biến thiên của f(x) trên K.

    - Bước 4. Căn cứ vào bảng biến thiên kết luận Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

2. Quy trình tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số không sử dụng bảng biến thiên

    ** Trường hợp 1. Tập K là đoạn [a; b]

    - Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

    - Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ [a; b] của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm α ∈ [a; b] làm cho f'(x) không xác định.

    - Bước 3. Tính f(a), f(b), f(xi), f(αi).

    - Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    ** Trường hợp 2. Tập K là khoảng (a; b)

    - Bước 1. Tính đạo hàm f'(x) .

    - Bước 2. Tìm tất cả các nghiệm xi ∈ (a; b) của phương trình f'(x) = 0 và tất cả các điểm αi ∈ (a; b) làm cho f'(x) không xác định.

    - Bước 3. Tính Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    - Bước 4. So sánh các giá trị tính được và kết luận Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải.

    ** Chú ý: Nếu giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) là A hoặc B thì ta kết luận không có giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

** ĐƯỜNG TIỆM CẬN

1. Quy tắc tìm giới hạn vô cực

    Quy tắc tìm giới hạn của tích f(x).g(x)

    Nếu Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải (hoặc -∝) thì Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải được tính theo quy tắc cho trong bảng sau:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    Quy tắc tìm giới hạn của thương Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    (Dấu của g(x) xét trên một khoảng K nào đó đang tính giới hạn, với x ≠ x0 )

2. Chú ý: Các quy tắc trên vẫn đúng cho các trường hợp Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

** KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THI HÀM SỐ

1. Sơ đồ bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

    • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;

    • Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x) ;

    • Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ;

    • Bước 4. Tính giới hạn Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

    • Bước 5. Lập bảng biến thiên;

    • Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);

    • Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng, ...);

    • Bước 8. Vẽ đồ thị.

2. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y= ax3 + bx2 + cx + d (a ≠ 0)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    - Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax4 + bx2 + c (a ≠ 0)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải(ab - bc ≠ 0)

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

5. Biến đổi đồ thị

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Khi đó, với số a > 0 ta có:

    • Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x) - a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x - a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

    • Hàm số y = -f(x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Ox.

    • Hàm số y = f(-x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Oy.

    • Hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải có đồ thị (C') bằng cách:

    - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy.

    - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

    • Hàm số Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải có đồ thị (C') bằng cách:

    - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.

    - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 chọn lọc, có lời giải hay khác: