Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số - Toán lớp 12

Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Tài liệu Lý thuyết Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số Toán lớp 12 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 12.

A. Tóm tắt lý thuyết

1. Sơ đồ bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

    • Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số;

    • Bước 2. Tính đạo hàm y' = f'(x) ;

    • Bước 3. Tìm nghiệm của phương trình ;

    • Bước 4. Tính giới hạn và tìm tiệm cận đứng, ngang (nếu có);

    • Bước 5. Lập bảng biến thiên;

    • Bước 6. Kết luận tính biến thiên và cực trị (nếu có);

    • Bước 7. Tìm các điểm đặc biệt của đồ thị (giao với trục Ox, Oy, các điểm đối xứng, ...);

    • Bước 8. Vẽ đồ thị.

2. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 3 y= ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

    - Lưu ý: Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị nằm 2 phía so với trục Oy khi ac < 0

3. Các dạng đồ thị của hàm số bậc 4 trùng phương y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

4. Các dạng đồ thị của hàm số nhất biến (ab - bc ≠ 0)

5. Biến đổi đồ thị

    Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) . Khi đó, với số a > 0 ta có:

    • Hàm số y = f(x) + a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy lên trên a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x) - a có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Oy xuống dưới a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x + a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua trái a đơn vị.

    • Hàm số y = f(x - a) có đồ thị (C') là tịnh tiến (C) theo phương của Ox qua phải a đơn vị.

    • Hàm số y = -f(x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Ox.

    • Hàm số y = f(-x) có đồ thị (C') là đối xứng của (C) qua trục Oy.

    • Hàm số có đồ thị (C') bằng cách:

    - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy và bỏ phần (C) nằm bên trái Oy.

    - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm bên phải trục Oy qua Oy.

    • Hàm số có đồ thị (C') bằng cách:

    - Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm trên Ox.

    - Lấy đối xứng phần đồ thị (C) nằm dưới Ox qua Ox và bỏ phần đồ thị (C) nằm dưới Ox.

B. Kĩ năng giải bài tập

Ví dụ 1: Vẽ đồ thị hàm số (C'): y = |x|³ - 3x² + 2 từ đồ thị (C): y = x³ - 2x² + 2 (C):

    Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.

Hướng dẫn:

    • Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía bên phải trục Oy bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc bên phải Oy, và bỏ phần đường đứt khúc bên trái Oy.

    • Bước 2: lấy đối xứng qua Oy phần đường mới tô đậm, ta được đồ thị (C').

Ví dụ 2: Vẽ đồ thị hàm số (C'): y = |x³ - 3x² + 2| từ đồ thị (C): y = x³ - 3x² + 2.

    Giả sử (C) là đường đứt khúc trong hình vẽ.

Hướng dẫn:

    • Bước 1: Giữ nguyên đường đứt khúc phía trên trục Ox bằng cách tô đậm phần đường đứt khúc phía trên Ox.

    • Bước 2: lấy đối xứng qua Ox phần đường đứt khúc nằm dưới Ox qua Ox rồi xóa phần đường đứt khúc nằm dưới Ox, ta được đồ thị (C').