Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác cực hay - Toán lớp 12

---

Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác cực hay

Với Cách tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập tìm nguyên hàm của hàm số lượng giác từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Ta có bảng nguyên hàm của các hàm số cơ bản hay gặp

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Nguyên hàm của hàm số: y = 7sinx?

A. 7sinx + C.

B. 7cosx + C.

C. –7cosx + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có: ∫7sinx dx = 7∫sinx dx = -7cosx + C.

Chọn C.

Ví dụ 2. Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx + 8cosx là:

A. –6cosx - 8sinx + C.

B. 6cosx + 8sinx + C.

C. –6cosx + 8sinx + C.

D. 6cosx - 8sinx + C.

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫(6sinx + 8cosx)dx = 6∫sinx dx + 8∫cosx dx = -6cosx + 8sinx + C.

Chọn C.

Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm của hàm số y = 8sinx - 8cosx

A. 8cosx - 8sinx.

B. -8cosx - 8sinx.

C. 8cosx + 8sinx.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có: ∫(8sinx - 8cosx)dx = 8∫sinx dx - 8∫cosx dx = -8cosx – 8sinx

Chọn B.

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số:

A. tanx + cotx + C.

B. tanx - cotx + C.

C. – tanx + cotx + C.

D. – cotx - tanx + C.

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm của hàm số y = x + tan²x

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm của hàm số y = sin7x - 7cos2x + lne

Lời giải

Ta có lne = 1 nên nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 7. Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = sin2x – cos3x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

Chọn C.

Ví dụ 8. Nguyên hàm của hàm số y = 2cos6x - 3sin4x có dạng F(x) = a.sin6x + b.cos4x. Tính 3a + 4b?

A. –4.     B. 4.     C. 2.     D. -2.

Lời giải

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 9. Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Ví dụ 10. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = tan²x + 3

A. cot2x + 2x + C.

B. tanx + x + C.

C. tanx + 2x + C.

D. cotx + x + C.

Lời giải

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn C.

Ví dụ 11. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 3.sin²x + 5cos²x?

Lời giải

Ta có: 3sin²x + 5cos²x = 3(sin²x + cos²x) + 2cos²x - 1 + 1

= 3.1 + cos2x + 1 = 4 + cos2x

⇒ Nguyên hàm của hàm số là:

Chọn C.

Ví dụ 12. Tìm nguyên hàm của hàm số: y = cos⁴x

Lời giải

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Ví dụ 13. Tính I = ∫sin²x.cos⁴x dx

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Gọi F(x) là nguyên hàm của hàm số: y = 2sin2x - 3cos3x; biết F(0) = 2. Tìm F(x)

A. –2cos2x - 3sin 3x + C.

B. -cos2x – sin3x + C.

C. -cos2x + sin3x + C.

D. Tất cả sai.

Lời giải:

Ta có:

∫(2sin2x - 3cos3x)dx = 2∫sin2x dx - 3∫cos3x dx = -cos2x + sin3x + C.

Do F(0) = 2 nên ta có: F(0) = -1 + 0 + C = 2 ⇔ C = 3.

Vậy F(x) cần tìm là: F(x) = -cos2x + sin3x + C.

Chọn C.

Câu 2: Nguyên hàm của hàm số: y = 6sinx.sin5x - 6cosx.cos5x là:

A. –cos6x + C.

B. 6sin6x + C.

C. –6sinx + C.

D. –sin6x + C.

Lời giải:

Ta có: 6.sinx.sin5x - 6cosx.cos5x = -6(-sinx.sin5x + cosx.cos5x) = -6.cos6x.

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn D.

Câu 3: Tìm nguyên hàm của hàm số y = -20.sin3x.cos3x + 8sin2x

Lời giải:

Ta có: -20sin3x.cos3x = -10.(2.sin3x.cos3x) = -10.sin6x

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 4: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = 2tan²x + 3cot²x?

A. 2tanx - 3cotx + C.

B. –2tanx + 3cotx + C.

C. tanx + cotx - 5x + C.

D. 2tanx – 3cotx – 5x + C.

Lời giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn D.

Câu 5: Tìm nguyên hàm của hàm số y = x³ + 2tan²x

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 6: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 7: Tìm nguyên hàm F(x) của hàm số: y = 3sin6x – 4cos8x biết tại x = 0 thì F(x) = 1?

Lời giải:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Do tại x = 0 ta có F(x) = 1 nên:

Vậy nguyên hàm cần tìm là:

Chọn C.

Câu 8: Nguyên hàm của hàm số y = 4.cos(-2x) + 4sin(-4x) có dạng F(x) = a.sin2x + b.cos4x. Tính a + b?

A. –1.     B. 3.     C. 2.     D. -2.

Lời giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 9: Tìm nguyên hàm của hàm số:

Lời giải:

Ta có:

Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn B.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

Lời giải:

Ta có:

⇒ Nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số y = tan⁸x.dx

Lời giải:

Ta có nguyên hàm của hàm số đã cho là:

∫tan⁸x dx = ∫[tan⁶x.(1 + tan²x) - tan⁴(1 + tan²x) + tan²x.(1 + tan²x) - (1 + tan²x) + 1]dx

= ∫(tan⁶x - tan⁴x + tan² - 1)dtanx + ∫dx.

Chọn D.

Câu 12: Tìm nguyên hàm của hàm số y = cosx.cos3x.cos2x

Lời giải:

Ta có:

Do đó, nguyên hàm của hàm số đã cho là:

Chọn A.