Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Với Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm phân thức bằng phương pháp đổi biến số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

Lời giải

Ta có:

Đặt u = 5x - 2 ta có:

Chọn B.

Ví dụ 2. Tính

A. 2ln|x² - x| + C.

B. xln|x² - x| + C.

C. ln|x² - x| + C.

D. Đáp án khác.

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x² - x khi đó:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính

Lời giải

Chọn C.

Ví dụ 4. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 6. Tính

Lời giải

Chọn A.

Ví dụ 7. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

Ví dụ 8. Tính

Lời giải

Đặt t = x + 3 ⇒ x = t - 3 và dx = dt.

Khi đó:

Chọn A.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 10. Tính

A. 2x - 2ln⁡|x+1| + c.

B. x² + 2ln⁡|x+1| + c.

C. x² - 2ln⁡|x+1| + c.

D. Tất cả sai.

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 11. Tính

Lời giải

Chọn D.

Ví dụ 12. Tính

Lời giải

Ta có: x³ + x² - 2x = x(x - 1)(x + 2)

Giả sử:

⇔ 2x² - 5x - 3 = A(x - 1).(x + 2) + B.x.(x + 2) + Cx.(x - 1) (*)

* Phương pháp gán các giá trị đặc biệt vào (*)

Thay x = 0 vào (*) suy ra: 2A = 3 ⇒ A = 3/2

Thay x = 1 vào (*) suy ra: 3B = -6 ⇒ B = -2

Thay x = -2n vào (*) suy ra: 6C = 15 ⇒ C = 5/2

Chọn A.

Ví dụ 13. Tính

Lời giải

Ta có:

Chọn B.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính

Lời giải:

Chọn C.

Câu 2: Tính

Lời giải:

Ta có:

Chọn A.

Câu 3: Tính

Lời giải:

Đặt t = x³ ⇒ dt = 3x² dx

Ta có:

Chọn B.

Câu 4: Tính

Lời giải:

Chọn B.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Ta có:

Đặt u = x³ - 3x khi đó:

Chọn C.

Câu 6: Tính

Lời giải:

Ta có:

Chọn C.

Câu 7: Tìm nguyên hàm:

Lời giải:

Chọn A.

Câu 8: Một nguyên hàm của hàm số là:

Lời giải:

Ta có:

Cho C = 0 ta được một nguyên hàm của hàm số f(x) là:

Chọn A.

Câu 9: Tính

Lời giải:

Ta có:

Do đó:

Chọn D.

Câu 10: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Ta có:

Chọn D.

Câu 11: Tìm nguyên hàm của hàm số

Lời giải:

Ta có:

Chọn B.

Câu 12: Tính

Lời giải:

Ta có: x³ - 5x² + 6x = x.(x - 2).(x - 3)

+ Giả sử:

⇔ 5x² - 6x + 1 = A(x - 2)(x - 3) + Bx.(x - 3) + Cx(x - 2) (*)

Thay x = 0 vào (*) ta được: 1 = 6A ⇒ A = 1/6

Thay x = 2 vào (*) ta được: 9 = -2B ⇒ B = -9/2

Thay x = 3 vào(*) ta được: 28 = 3C ⇒ C = 28/3

Chọn D.

Câu 13: Tính

Lời giải:

Ta có: x³ - 3x + 2 = (x - 1)²(x + 2)

Giả sử:

⇒ 3x² + 3x + 3 = A(x + 2)+ B(x - 1).(x + 2) + C(x - 1)² (*)

+ Gán các giá trị đặc biệt vào (*):

Cho x = 1 ⇒ 3A = 9 nên A = 3

Cho x = -2 ⇒ 9C = 9 nên C = 1

Cho x = 0 ⇒ 3 = 2A - 2B + C ⇒ B = 2

Vậy:

Chọn A.