Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay - Toán lớp 12

---

Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay

Với Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số cực hay Toán lớp 12 gồm đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh ôn tập, biết cách làm dạng bài tập Tìm nguyên hàm của hàm đa thức bằng phương pháp đổi biến số từ đó đạt điểm cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

A. Phương pháp giải

Cho hàm số u = u(x) có đạo hàm liên tục trên K và hàm số y = f(u) liên tục sao cho f[u(x)] xác định trên K. Khi đó nếu F là một nguyên hàm của f thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm của hàm số sau:

y = (2x + 3)⁵

Lời giải

Ta có:

Đặt u = 2x + 3; khi đó (*) trở thành:

Chọn A.

Ví dụ 2. Tính I = ∫(x² + 2x)(x + 1)dx

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x² + 2x ta có:

Chọn C.

Ví dụ 3. Tính I = ∫x²(x³ - 4)⁶dx

Lời giải

Ta có:

Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm của hàm số sau: y = (2x - 3x²)(x² - x³ + 2)⁵

Lời giải

Ta có: (2x - 3x²)(x² - x³ + 2)⁵.dx = (x² - x³ + 2)⁵(x² - x³ + 2)'.dx

= (x² - x³ + 2)⁵.d(x² - x³ + 2)

⇒ I = ∫(2x - 3x²)(x² - x³ + 2)⁵ dx = ∫(x² - x³ + 2)⁵.d(x² - x³ + 2) (*)

Đặt u = x² – x³ + 2; khi đó (*) trở thành:

Chọn A.

Ví dụ 5. Tính I = ∫(x³ + 3x)(x² + 1)dx

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x³ + 3x ta có:

Chọn B.

Ví dụ 6. Tính I = ∫(x² - 2)(x³ - 6x)⁶dx

Lời giải

Ta có:

Đặt u = x³ - 6x ta được:

Chọn B.

Ví dụ 7. Tính I = ∫(x - 1)¹⁰dx

Lời giải

Ta có:

Chọn C.

Ví dụ 8. Tính I = ∫(x - 1)(x + 2)(2x + 1)dx

Lời giải

Ta có:

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x² - 2)²

Lời giải:

Ta có:

Chọn C.

Câu 2: Tìm nguyên hàm của hàm số: y = (3x - 2)³⁰⁰⁰

Lời giải:

Đặt t = 3x - 2 ⇒ dt = 3dx

Chọn A.

Câu 3: Tính nguyên hàm của hàm số y = (x² + 2x)(x³ + 3x² + 1)³⁰

Lời giải:

Đặt t = x³ + 3x² + 1 ⇒ dt = (3x² + 6x)dx

Chọn D.

Câu 4: Tính I = ∫x(x - 1)(2x³ - 3x² - 1)¹⁰ dx

Lời giải:

Đặt t = 2x³ - 3x² - 1

⇒ dt = 6x² - 6x = 6x(x - 1) dx

Chọn A.

Câu 5: Tính

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = 1 - x suy ra dt = -dx

Chọn C.

Câu 6: Tính I = ∫x(x - 1)²⁰⁹dx

Lời giải:

Ta có: x(x - 1)²⁰⁹ = (x - 1).(x - 1)²⁰⁹ + 1.(x - 1)²⁰⁹ = (x - 1)²¹⁰ + (x - 1)²⁰⁹

⇒ I = ∫x(x - 1)²⁰⁹dx = ∫[(x - 1)²¹⁰ + (x - 1)²⁰⁹]dx

Đặt t = x - 1 ⇒ dt = dx

Chọn A.

Câu 7: Tính I = ∫x(2x - 2)¹⁰ dx

Lời giải:

Ta có:

Đặt t = 2x - 2 ⇒ dt = 2dx

Chọn B.