Nguyên hàm của I= nguyên hàm x sinx^2xdx là:

❮ Bài trước Bài sau ❯

Câu hỏi:

Nguyên hàm của $I = \int x \sin^{2} x d x$ là:

A. $\frac{1}{8} (2 x^{2} - x \sin 2 x - \cos 2 x) + C$

B. $\frac{1}{8} \cos 2 x + \frac{1}{4} (x^{2} + x \sin 2 x) + C$

C. $\frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x - x \sin 2 x) + C$

D. Đáp án A và C đúng.

Trả lời:

Phân tích:

Ta biến đổi: $I = \int x \sin^{2} x d x = \int x (\frac{1 - \cos 2 x}{2}) d x = \frac{1}{2} \int x d x - \frac{1}{2} \int x \cos 2 x d x = \frac{1}{4} x^{2} - \frac{1}{2} \underset{I_{1}}{\underset{⏟}{\int x \cos 2 x d x}} + C_{1}$

$I_{1} = \int x \cos 2 x d x$ .

Đặt $\{\begin{cases} u = x \\ d v = \cos 2 x \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} d u = d x \\ v = \frac{1}{2} \sin 2 x \end{cases}$ .

$\Rightarrow I_{1} = \int x \cos 2 x d x = \frac{1}{2} x \sin 2 x - \frac{1}{2} \int \sin 2 x d x = \frac{1}{2} x \sin 2 x + \frac{1}{4} \cos 2 x + C$ .

$\Rightarrow I = \frac{1}{4} (x^{2} - \frac{1}{2} \cos 2 x - x \sin 2 x) + C = \frac{1}{8} (2 x^{2} - 2 x \sin 2 x - \cos 2 x) + C = - \frac{1}{8} \cos 2 x + \frac{1}{4} (x^{2} + x \sin 2 x) + C$ .